[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
\int \operatorname{sec} ^{3}(x) d x

Passo 1

Você pediu para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx.
Informações/dados relevantes do enunciado:
\text{Integral indefinida da função }\operatorname{sec}^{3}(x)\text{ em função de }x.çãçã
Não há mais restrições dadas; lembrando que \operatorname{sec} x não está definida onde \cos x=0 (ou seja, em x=\frac{\pi}{2}+k\pi), então a primitiva valerá em intervalos onde \operatorname{sec} x e \tan x são definidas.

Passo 2

Estratégia (explicada como se eu fosse seu colega de estudo): um truque clássico para \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx é separar uma cópia de \operatorname{sec} x e deixar \operatorname{sec}^{2}x para usar como diferencial, porque a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Escrevemos
\operatorname{sec}^{3}x = \operatorname{sec} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
Em seguida usamos integração por partes. Vou primeiro te ensinar a fórmula da integração por partes e o porquê: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (porque sua derivada é simples) e dv é algo que escolhemos para integrar facilmente. É como escolher quem dá o bote e quem segura a vara — tem que escolher bem.

Passo 3

Escolha das funções para integração por partes:
u = \operatorname{sec} x,\qquad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x\,dx,
v = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.
Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\cdot\tan x - \int \tan x \cdot (\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Simplificando o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\tan^{2}x\,dx.

Passo 4

Agora vou usar uma identidade trigonométrica que você precisa conhecer e eu já explico por que ela vale: a identidade pitagórica para seno e cosseno dá, dividindo por \cos^{2}x,
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
Isto porque \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}; então
1+\tan^{2}x = 1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Usando \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 na integral que ficou:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx.
Distribuindo:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 5

Agora temos a própria integral aparecendo dos dois lados; é uma equação que podemos resolver algebricamente. Reagrupando os termos com \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Ou seja,
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx.
Portanto precisamos apenas conhecer \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 6

Agora vou te ensinar a técnica padrão para integrar \operatorname{sec} x. A integral
\int \operatorname{sec} x\,dx
é resolvida multiplicando por uma expressão conveniente igual a 1:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Observe que o numerador é exatamente a derivada do denominador, porque
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x+\tan x)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto podemos fazer a substituição
w=\operatorname{sec} x+\tan x,\qquad dw=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2}x)\,dx.
A integral vira
\int \frac{dw}{w} = \ln|w| + C = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C.
Então concluímos
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + C.

Passo 7

Voltando para a expressão obtida no Passo 5 e substituindo o resultado de \int \operatorname{sec} x\,dx:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração (juntei as constantes em uma só).

Passo 8

Checagem rápida (dica prática para prova): se você derivar
F(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|
usando as regras do produto e a derivada de \ln, vai recuperar \operatorname{sec}^{3}x. Fazer essa verificação é um bom hábito quando você tiver tempo na prova — é a prova de que está tudo certo.

Resposta

\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + C

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