\text{Integral indefinida da função }\operatorname{sec}^{3}(x)\text{ em função de }x.
Não há mais restrições dadas; lembrando que \operatorname{sec} x não está definida onde \cos x=0 (ou seja, em x=\frac{\pi}{2}+k\pi), então a primitiva valerá em intervalos onde \operatorname{sec} x e \tan x são definidas.
Passo 2
Estratégia (explicada como se eu fosse seu colega de estudo): um truque clássico para \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx é separar uma cópia de \operatorname{sec} x e deixar \operatorname{sec}^{2}x para usar como diferencial, porque a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Escrevemos
Em seguida usamos integração por partes. Vou primeiro te ensinar a fórmula da integração por partes e o porquê: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (porque sua derivada é simples) e dv é algo que escolhemos para integrar facilmente. É como escolher quem dá o bote e quem segura a vara — tem que escolher bem.
Passo 3
Escolha das funções para integração por partes:
u = \operatorname{sec} x,\qquad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x\,dx,
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\cdot\tan x - \int \tan x \cdot (\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Simplificando o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\tan^{2}x\,dx.
Passo 4
Agora vou usar uma identidade trigonométrica que você precisa conhecer e eu já explico por que ela vale: a identidade pitagórica para seno e cosseno dá, dividindo por \cos^{2}x,
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
Isto porque \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}; então
Agora temos a própria integral aparecendo dos dois lados; é uma equação que podemos resolver algebricamente. Reagrupando os termos com \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx:
onde C é a constante de integração (juntei as constantes em uma só).
Passo 8
Checagem rápida (dica prática para prova): se você derivar
F(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|
usando as regras do produto e a derivada de \ln, vai recuperar \operatorname{sec}^{3}x. Fazer essa verificação é um bom hábito quando você tiver tempo na prova — é a prova de que está tudo certo.
Resposta
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + C