[Valor: 2,0 ] Uma partícula desloca-se sobre o cixo
, de modo que em cada instante
a velocidade é o triplo da posição. Sabendo que no instante
a posição é igual a 2 . Determine a posição da partícula no instante
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a posição da partícula no instante
:
- A partícula se move sobre o eixo
. - Em cada instante
a velocidade é o triplo da posição.
Isto corresponde à relação entre velocidade e posição dada no enunciado. - No instante
a posição vale , ou seja, condição inicial .
O que o problema pede: determinar a função
que descreve a posição da partícula em função do tempo
.
Passo 2
Tradução da frase “a velocidade é o triplo da posição” em linguagem matemática. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então podemos escrever:
Aqui
é a posição no tempo
e
é a velocidade. O objetivo agora é resolver essa equação diferencial com a condição inicial
.
Passo 3
Escolhemos o método “separação de variáveis” porque a equação é do tipo em que derivada aparece em função de
multiplicada por função de
(aqui é simplesmente uma constante). A ideia é rearranjar para colocar termos com
de um lado e termos com
do outro:
Observação importante: existe também a solução constante
da equação original, mas ela não satisfaz a condição inicial
. Como
, podemos dividir por
sem problema.
Passo 4
Agora integramos os dois lados. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Assim:
onde
é a constante de integração. Eu explico:
aparece por ser a primitiva de
; o valor absoluto garante que a função logarítmica seja definida para
também.
Passo 5
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Definimos
, então
. Como a condição inicial diz que
, sabemos que
é positiva próximo a
e podemos remover o valor absoluto, obtendo
Usamos
para determinar
:
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (para eu te deixar mais confiante): calcule a derivada de
:
ou seja, satisfaz a equação diferencial. Além disso
, satisfaz a condição inicial. Tudo OK!