[Valor: 2,0 ] Uma partícula desloca-se sobre o cixo O X, de modo que em cada instante t a velocidade é o triplo da posição. Sabendo que no instante t=0 a posição é igual a 2 . Determine a posição da partícula no instante t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a posição da partícula no instante t:
  • A partícula se move sobre o eixo OX.
  • Em cada instante t a velocidade é o triplo da posição.
    Isto corresponde à relação entre velocidade e posição dada no enunciado.
  • No instante t=0 a posição vale 2, ou seja, condição inicial x(0)=2.
O que o problema pede: determinar a função x(t) que descreve a posição da partícula em função do tempo t.

Passo 2

Tradução da frase “a velocidade é o triplo da posição” em linguagem matemática. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então podemos escrever:
\frac{dx}{dt}=3x(t).
Aqui x(t) é a posição no tempo t e \frac{dx}{dt} é a velocidade. O objetivo agora é resolver essa equação diferencial com a condição inicial x(0)=2.

Passo 3

Escolhemos o método “separação de variáveis” porque a equação é do tipo em que derivada aparece em função de x multiplicada por função de t (aqui é simplesmente uma constante). A ideia é rearranjar para colocar termos com x de um lado e termos com t do outro:
\frac{1}{x}\,dx = 3\,dt.
Observação importante: existe também a solução constante x(t)=0 da equação original, mas ela não satisfaz a condição inicial x(0)=2. Como x(0)=2\neq0, podemos dividir por x sem problema.

Passo 4

Agora integramos os dois lados. A integral de \frac{1}{x} em relação a x é \ln|x| e a integral de 3 em relação a t é 3t. Assim:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int 3\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = 3t + C,
onde C é a constante de integração. Eu explico: \ln|x| aparece por ser a primitiva de 1/x; o valor absoluto garante que a função logarítmica seja definida para x<0 também.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados para resolver para x:
|x| = e^{3t+C} = e^{C}e^{3t}.
Definimos A=e^{C}>0, então |x|=A e^{3t}. Como a condição inicial diz que x(0)=2>0, sabemos que x(t) é positiva próximo a t=0 e podemos remover o valor absoluto, obtendo
x(t)=A e^{3t}.
Usamos x(0)=2 para determinar A:
2 = x(0) = A e^{0} = A \quad\Rightarrow\quad A=2.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
x(t)=2e^{3t}.

Passo 6

Verificação rápida (para eu te deixar mais confiante): calcule a derivada de x(t)=2e^{3t}:
\frac{dx}{dt}=2\cdot 3 e^{3t}=3\cdot\bigl(2e^{3t}\bigr)=3x(t),
ou seja, satisfaz a equação diferencial. Além disso x(0)=2e^{0}=2, satisfaz a condição inicial. Tudo OK!

Resposta

x(t)=2e^{3t}

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