(valor: 2,00) Encontre a solução geral da EDO não homogênea:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=3 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da EDO não homogênea:
y'' + 3y' + 2y = 3 e^3x
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai usar que a solução geral é a soma da parte homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a solução homogênea, consideramos a EDO sem o termo forçante:
y'' + 3y' + 2y = 0
A partir daí, montamos o polinômio característico associado.

Passo 3

O polinômio característico é
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r = -1 e r = -2. Assim a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 4

Para a solução particular, o termo não homogêneo é 3e^3x. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos a forma
yp(x) = A e^3x

Passo 5

Derivando, temos
yp'(x) = 3A e^3x
e
yp''(x) = 9A e^3x
Substituindo na EDO original:
yp'' + 3yp' + 2yp = (9A + 9A + 2A)e^3x = 20A e^3x
Para igualar a 3e^3x, precisamos de 20A = 3, logo A = 320.

Passo 6

Somando a parte homogênea yh e a particular yp, chegamos à forma geral da solução.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 320 e^3x

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