(valor: 1,50) Encontre a solução geral da EDO abaixo:
e^2 x y^prime=2(e^2 x+2) y^3

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem separável
Temos
e^2xy'=2l(e^2x+2r)y^3
O conteúdo é separação de variáveis; vamos precisar isolar
os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Começamos passando e^2x para o outro lado e escrevendo y' como dydx:
y' = dydx = 2l(e^2x+2r)e^-2xy^3 = 2l(1 + 2e^-2xr)y^3
Agora separamos as variáveis:
1y^3,dy = 2l(1 + 2e^-2xr)dx

Passo 3

Integramos cada lado. À esquerda:
integral y^-3dy = integral 1y^3dy = y^-2-2 = -12y^2 + C1
À direita:
integral 2,dx + integral 4e^-2xdx = 2x + 4cdotl(-tfrac12 e^-2xr) + C2 = 2x - 2e^-2x + C2

Passo 4

Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em C:
-12y^2 = 2x - 2e^-2x + C
Multiplicamos por (-2) para simplificar:
1y^2 = -4x + 4e^-2x + C'

Passo 5

Basta inverter e extrair a raiz quadrada:
y^2 = 1C' -4x +4e^-2x
y(x)= pm1raizC' -4x +4e^-2x
Renomeando C' como constante arbitrária C, chegamos à solução geral.

Resposta

y(x)=pm1raizC -4x +4e^-2x, onde C é constante arbitrária.

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