(valor: 1,00 ) Mostre que o raio de convergência da série
é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o raio de convergência da série
é . Isso envolve conceitos de séries infinitas e como determinar até onde a série “faz sentido” ou converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raio de Convergência que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observamos que:
Então, nossa série fica:
Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com uma série exponencial.
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência , usamos a fórmula do Raio de Convergência para séries do tipo , que é dada por:
No nosso caso, . Vamos calcular o limite:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando limn to infty 4n+1 = 0 tende ao infinito: