(valor: 1,00 ) Mostre que o raio de convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n x^n 4^nn!
é R=infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o raio de convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n x^n 4^nn!
é . Isso envolve conceitos de séries infinitas e como determinar até onde a série “faz sentido” ou converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raio de Convergência que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observamos que:
(-1)^n x^n 4^nn! = [(-1) cdot 4 cdot x]^nn! = (-4x)^nn!
Então, nossa série fica:
sumn=1^infty (-4x)^nn!
Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com uma série exponencial.

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | , usamos a fórmula do Raio de Convergência para séries do tipo | an+1an | = | (-4)^n+1(n+1)! cdot n!(-4)^n | = | -4n+1 | = 4n+1 , que é dada por:
No nosso caso, . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando limn to infty 4n+1 = 0 tende ao infinito:
1R = 0 Rightarrow R = infty
Então, temos:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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