Classifique cada afirmação em verdadeiro (V) ou falso (F)
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é um retângulo.
c) Todo quadrado é um retângulo.
d) Todo paralelogramo é um losango.
e) Todo quadrado é um losango.
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é um retângulo.
c) Todo quadrado é um retângulo.
d) Todo paralelogramo é um losango.
e) Todo quadrado é um losango.
Passo 1
O problema pede para classificar cada uma das afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é um retângulo.
c) Todo quadrado é um retângulo.
d) Todo paralelogramo é um losango.
e) Todo quadrado é um losango.
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é um retângulo.
c) Todo quadrado é um retângulo.
d) Todo paralelogramo é um losango.
e) Todo quadrado é um losango.
As informações que temos são apenas essas afirmações; não há dados numéricos nem figuras adicionais no enunciado.
Passo 2
Antes de começar a julgar cada afirmação, vamos fixar definições claras e simples (essas são as ferramentas que vamos usar). Vou explicar como eu entendo cada figura, devagarinho:
- Um quadrilátero é uma figura de quatro lados.
- Definição de paralelogramo: um quadrilátero cujos dois pares de lados opostos são paralelos entre si. Ou seja, se o quadrilátero for
, então e . Essa propriedade é a essência do paralelogramo. - Definição de retângulo: um quadrilátero com quatro ângulos retos, isto é, cada ângulo vale
. Muitas vezes definimos retângulo como um paralelogramo cujos ângulos são direitos — isto é, todo retângulo tem pares de lados opostos paralelos. - Definição de losango (ou rombo): um quadrilátero com os quatro lados congruentes (todos da mesma medida). Outro jeito de dizer: é um paralelogramo com todos os lados iguais.
- Definição de quadrado: um quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Ou seja, o quadrado é simultaneamente retângulo e losango.
Vou repetir a última parte de modo bem direto porque ela é chave: o quadrado é a interseção das propriedades “quatro ângulos retos” e “quatro lados iguais”. Então, se algo é quadrado, automaticamente satisfaz as propriedades de retângulo e de losango.
Passo 3
Agora vamos analisar a afirmação (a): “Todo retângulo é um paralelogramo.”
Raciocínio: pela definição que eu dei acima, um retângulo tem quatro ângulos retos. Uma consequência geométrica bem conhecida (e que você pode usar em prova) é: se um quadrilátero tem um par de ângulos adjacentes suplementares formados por lados opostos, os lados opostos são paralelos; mais diretamente, a definição usada em cursos elementares é que um retângulo é um paralelogramo com ângulos retos — ou seja, a definição comum já inclui que retângulo tem pares de lados opostos paralelos. Portanto todo retângulo satisfaz a condição de paralelogramo.
Exemplo concreto para visualizar: um retângulo padrão com lados horizontais e verticais (como uma folha A4) tem os lados opostos paralelos. Logo a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Agora a afirmação (b): “Todo paralelogramo é um retângulo.”
Raciocínio: paralelogramo exige apenas que lados opostos sejam paralelos; não exige ângulos retos. Assim há paralelogramos com ângulos não retos (por exemplo, ângulos
e
). Esses paralelogramos inclinados não são retângulos porque não têm ângulos de
.
Contraexemplo concreto e fácil de imaginar: um paralelogramo com ângulos
e
(um losango “inclinado” ou um quadrilátero qualquer com os opostos paralelos) não é um retângulo. Portanto a afirmação (b) é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação (c): “Todo quadrado é um retângulo.”
Raciocínio: por definição de quadrado temos quatro ângulos retos e quatro lados iguais. Os quatro ângulos retos implicam que o quadrado satisfaz a definição de retângulo (que pede apenas quatro ângulos retos). Assim todo quadrado é um retângulo.
Para reforçar: pegue um quadrado
. Ele claramente tem ângulos de
, logo é retângulo. Portanto (c) é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação (d): “Todo paralelogramo é um losango.”
Raciocínio: similar ao caso (b). Paralelogramo exige paralelismo dos lados opostos, mas não exige que todos os lados tenham a mesma medida. Muitos paralelogramos têm lados opostos iguais em pares, mas os dois comprimentos distintos. Por exemplo, um retângulo que não é quadrado (lado
e lado
) é um paralelogramo (pois lados opostos são paralelos) mas não é um losango (os quatro lados não são todos iguais).
Contraexemplo concreto: considere um retângulo com lados
e
. Ele é um paralelogramo mas não é losango. Portanto (d) é falsa.
Passo 7
Análise da afirmação (e): “Todo quadrado é um losango.”
Raciocínio: quadrado tem os quatro lados iguais — essa é exatamente a condição do losango (além de ser paralelogramo). Logo todo quadrado é um losango.
Exemplo: um quadrado
tem quatro lados iguais; portanto é losango. Assim (e) é verdadeira.
Passo 8
Resumo lógico das implicações entre as figuras (para fixar e usar na prova):
- Qualquer retângulo é paralelogramo. (retângulo ⇒ paralelogramo)
- Nem todo paralelogramo é retângulo. (paralelogramo ⇏ retângulo)
- Qualquer quadrado é retângulo. (quadrado ⇒ retângulo)
- Nem todo paralelogramo é losango. (paralelogramo ⇏ losango)
- Qualquer quadrado é losango. (quadrado ⇒ losango)
Isso basta para responder as cinco afirmações.
Resposta
a) V
b) F
c) V
d) F
e) V
b) F
c) V
d) F
e) V