Em um laboratório de materiais de construção há 6 amostras de concreto aprovadas e 3 amostras reprovadas em um ensaio de resistência. Quatro amostras são selecionadas para análise. Defina a variável aleatória
Encontre a FDP da v.a.
quando as seleções são feitas:
sem reposição?
sem reposição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a distribuição de probabilidades da variável aleatória
:
- Há
amostras aprovadas e amostras reprovadas no total. - Selecionam-se
amostras sem reposição. - A variável aleatória é
número de amostras reprovadas selecionadas. - O enunciado pergunta: qual é a função de probabilidade (FDP, ou pmf) de
quando a seleção é sem reposição?
Dados organizados:
Os valores possíveis de
são
(não é possível ter mais que 3 reprovadas pois só existem 3 na população).
Passo 2
Método escolhido: processos de amostragem sem reposição em população finita levam à distribuição hipergeométrica. A fórmula geral da distribuição hipergeométrica é:
onde
-
é o número de combinações de objetos escolhidos dentre ; -
é o tamanho da população ( ); -
é o número de “sucessos” na população (aqui, reprovadas = ); -
é o tamanho da amostra ( ); -
é o número de sucessos observados na amostra (valor de ).
Interpretação da fórmula em palavras: no numerador conta-se o número de maneiras de escolher exatamente
reprovadas dentre as
disponíveis e, ao mesmo tempo, escolher as restantes
amostras entre as aprovadas; divide-se pelo número total de maneiras de escolher
amostras dentre
.
O domínio de
é
até
. Aqui isso dá
.
Passo 3
Calcular o denominador total:
Passo 4
Calcular
:
Logo
Passo 5
Calcular
:
Logo
Passo 6
Calcular
:
Logo
Passo 7
Calcular
:
Logo
Passo 8
Verificação rápida: somando os numeradores
, portanto as probabilidades somam
, o que confirma consistência.