Em um laboratório de materiais de construção há 6 amostras de concreto aprovadas e 3 amostras reprovadas em um ensaio de resistência. Quatro amostras são selecionadas para análise. Defina a variável aleatória
X=\text { numero de amostras reprovadas selecionadas. }
Encontre a FDP da v.a. X quando as seleções são feitas:
sem reposição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a distribuição de probabilidades da variável aleatória X:
  • 6 amostras aprovadas e 3 amostras reprovadas no total.
  • Selecionam-se 4 amostras sem reposição.
  • A variável aleatória é X= número de amostras reprovadas selecionadas.
  • O enunciado pergunta: qual é a função de probabilidade (FDP, ou pmf) de X quando a seleção é sem reposição?
Dados organizados:
N=9\\ (\text{total}),\quad K=3\\ (\text{número de reprovadas}),\quad N-K=6\\ (\text{aprovadas}),\quad n=4\\ (\text{tamanho da amostra}).ú
Os valores possíveis de X são 0,1,2,3 (não é possível ter mais que 3 reprovadas pois só existem 3 na população).

Passo 2

Método escolhido: processos de amostragem sem reposição em população finita levam à distribuição hipergeométrica. A fórmula geral da distribuição hipergeométrica é:
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
onde
  • \binom{a}{b} é o número de combinações de b objetos escolhidos dentre a;
  • N é o tamanho da população ( 9);
  • K é o número de “sucessos” na população (aqui, reprovadas = 3);
  • n é o tamanho da amostra ( 4);
  • k é o número de sucessos observados na amostra (valor de X).
Interpretação da fórmula em palavras: no numerador conta-se o número de maneiras de escolher exatamente k reprovadas dentre as K disponíveis e, ao mesmo tempo, escolher as restantes n-k amostras entre as aprovadas; divide-se pelo número total de maneiras de escolher n amostras dentre N.
O domínio de k é \max(0,n-(N-K)) até \min(n,K). Aqui isso dá k=0,1,2,3.

Passo 3

Calcular o denominador total:
\binom{N}{n}=\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{3024}{24}=126.

Passo 4

Calcular P(X=0):
\binom{K}{0}=\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{N-K}{4}=\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
Logo
P(X=0)=\frac{1\cdot15}{126}=\frac{15}{126}=\frac{5}{42}\approx0{,}11905.

Passo 5

Calcular P(X=1):
\binom{3}{1}=3,\qquad \binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
Logo
P(X=1)=\frac{3\cdot20}{126}=\frac{60}{126}=\frac{10}{21}\approx0{,}47619.

Passo 6

Calcular P(X=2):
\binom{3}{2}=3,\qquad \binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
Logo
P(X=2)=\frac{3\cdot15}{126}=\frac{45}{126}=\frac{5}{14}\approx0{,}35714.

Passo 7

Calcular P(X=3):
\binom{3}{3}=1,\qquad \binom{6}{1}=6.
Logo
P(X=3)=\frac{1\cdot6}{126}=\frac{6}{126}=\frac{1}{21}\approx0{,}047619.

Passo 8

Verificação rápida: somando os numeradores 15+60+45+6=126, portanto as probabilidades somam 1, o que confirma consistência.

Resposta

P(X=0)=\dfrac{5}{42}\approx0{,}11905
P(X=1)=\dfrac{10}{21}\approx0{,}47619
P(X=2)=\dfrac{5}{14}\approx0{,}35714
P(X=3)=\dfrac{1}{21}\approx0{,}047619

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