(Valor: 30 pontos) Durante o controle tecnológico de uma obra de Engenharia Civil, seja
a variável aleatória contínua que representa o índice de absorção de água de corpos de prova cerâmicos. Considere a função dada por:
, caso contrário.
a) Determine o valor da constante
para que
seja uma função densidade de probabilidade.
b) Esboce o gráfico da função
.
c) Calcule a probabilidade
d) Determine a esperança matemática
.
e) Calcule a variância
.
f) Determine a função de distribuição acumulada
.
a) Determine o valor da constante
b) Esboce o gráfico da função
c) Calcule a probabilidade
d) Determine a esperança matemática
e) Calcule a variância
f) Determine a função de distribuição acumulada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos no meio do caminho.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- A densidade é dada por
-
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Determinar a constante para que
seja densidade de probabilidade.
(b) Esboçar o gráfico de .
(c) Calcular .
(d) Determinar a esperança .
(e) Calcular a variância .
(f) Determinar a função de distribuição acumulada .
(a) Determinar a constante
(b) Esboçar o gráfico de
(c) Calcular
(d) Determinar a esperança
(e) Calcular a variância
(f) Determinar a função de distribuição acumulada
Passo 2
(a) Encontrar
usando a condição de normalização da densidade: a integral de
em todo
deve ser
. Como
é zero fora de
, basta impor
Vou calcular a integral passo a passo:
Calcule cada termo:
Subtraindo,
Voltando à normalização,
Passo 3
(b) Esboço do gráfico e propriedades importantes (explicar como desenhar na prova):
A função dentro de é
A função dentro de
Reescrevendo em forma de vértice (completa do quadrado) para entender a forma:
Logo
Dessa forma vemos:
- É uma parábola voltada para baixo (porque o termo quadrático tem coeficiente negativo).
- Zeros em
e (substituir confirma). - Vértice (máximo) em
com valor
Para esboçar na prova: desenhar o eixo
, marcar
e
, desenhar uma parábola que atinge
em
e toca o eixo em
e
; fora de
a função vale
.
Passo 4
(c) Calcular
. Usamos a integral da densidade no intervalo pedido:
Calculo da integral interna:
Avaliar entre
e
:
Faço por frações:
Subtraindo,
Multiplicando por
,
Passo 5
(d) Esperança matemática
. Definição: para variável contínua,
Aqui a integral fica em
:
Calculo:
Subtraindo,
Multiplicando por
,
Observação intuitiva (útil na prova): a densidade é simétrica em torno de
na forma
, por isso a média fica em
.
Passo 6
(e) Variância
. Fórmula útil:
Então preciso de
:
Calculo das integrais:
Subtraindo,
Multiplicando por
,
Como
,
Passo 7
(f) Função de distribuição acumulada
. Definição:
Como
para
e para
, temos a fórmula por partes.
- Para
:
- Para
:
Simplificando os coeficientes:
- Para
:
Validação rápida (útil na prova): em
a expressão do meio dá
; em
dá
ou seja, é contínua e chega a
em
, como deve ser.
Resposta
a)
b)
para
, zero fora. Parabola voltada para baixo, zeros em
e
, máximo em
com
.
c)
d)
e)
f)
]