VALOR: 15 PONTOS
Uma casca esférica uniformemente carregada com uma carga +Q em sua superfície tem um raio R .
No centro desta casca esférica existe uma carga pontual -Q. Calcule os vetores de campo elétrico dentro da casca esférica e fora da casca esférica.
Observação: Todas as suposições devem ser explicitadas e o desenho do campo deve ser feito para correção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campo elétrico passo a passo! A situação é a seguinte: temos uma casca esférica uniformemente carregada com carga positiva +Q e raio R. No centro dessa casca, tem uma carga pontual negativa -Q. Nosso objetivo é calcular os vetores de campo elétrico dentro e fora da casca esférica. Vamos precisar usar os conceitos de Lei de Gauss e superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro da casca esférica. Existem duas contribuições para o campo elétrico nessa região:
  1. Campo devido à casca esférica: De acordo com a Lei de Gauss, uma casca esférica uniformemente carregada gera um campo elétrico zero em qualquer ponto dentro dela. Isso acontece porque as contribuições das partes da casca se cancelam mutuamente.
  2. Campo devido à carga pontual no centro: A carga pontual -Q gera um campo elétrico que afeta toda a região interna da casca. O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
E = k cdot Qr^2 r
onde $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $, $ Q $ é a carga, $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Como a casca não contribui para o campo interno, o campo elétrico total dentro da casca é apenas o campo devido à carga central -Q:
Edentro = k cdot (-Q)r^2 r
Isso significa que o campo elétrico dentro da casca aponta em direção à carga negativa e sua intensidade diminui com o quadrado da distância $ r $ do centro.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da casca esférica. Nesse caso, também temos duas contribuições:
  1. Campo devido à casca esférica: Fora da casca, o campo elétrico de uma casca esférica carregada age como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Então, o campo devido à casca é:
Ecasca = k cdot Qr^2 r
  1. Campo devido à carga central: A carga pontual -Q no centro gera também um campo:
Epontual = k cdot (-Q)r^2 r

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total fora da casca, somamos as duas contribuições:
Etotal fora = Ecasca + Epontual = k cdot Qr^2 r + k cdot (-Q)r^2 r = 0
As duas contribuições se cancelam perfeitamente, resultando em um campo elétrico zero fora da casca esférica.

Resposta

Dentro da casca esférica, o campo elétrico é dado por $ \vec{E}_{dentro} = \frac{-kQ}{r^{2}} \hat{r} $, apontando para o centro. Fora da casca esférica, o campo elétrico é zero.

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