VALOR: 15 PONTOS
Uma casca esférica uniformemente carregada com uma carga +Q em sua superfície tem um raio R .
No centro desta casca esférica existe uma carga pontual -Q. Calcule os vetores de campo elétrico dentro da casca esférica e fora da casca esférica.
Observação: Todas as suposições devem ser explicitadas e o desenho do campo deve ser feito para correção.
Uma casca esférica uniformemente carregada com uma carga +Q em sua superfície tem um raio R .
No centro desta casca esférica existe uma carga pontual -Q. Calcule os vetores de campo elétrico dentro da casca esférica e fora da casca esférica.
Observação: Todas as suposições devem ser explicitadas e o desenho do campo deve ser feito para correção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campo elétrico passo a passo! A situação é a seguinte: temos uma casca esférica uniformemente carregada com carga positiva +Q e raio R. No centro dessa casca, tem uma carga pontual negativa -Q. Nosso objetivo é calcular os vetores de campo elétrico dentro e fora da casca esférica. Vamos precisar usar os conceitos de Lei de Gauss e superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro da casca esférica. Existem duas contribuições para o campo elétrico nessa região:
-
Campo devido à casca esférica: De acordo com a Lei de Gauss, uma casca esférica uniformemente carregada gera um campo elétrico zero em qualquer ponto dentro dela. Isso acontece porque as contribuições das partes da casca se cancelam mutuamente.
-
Campo devido à carga pontual no centro: A carga pontual -Q gera um campo elétrico que afeta toda a região interna da casca. O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $, $ Q $ é a carga, $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Como a casca não contribui para o campo interno, o campo elétrico total dentro da casca é apenas o campo devido à carga central -Q:
Isso significa que o campo elétrico dentro da casca aponta em direção à carga negativa e sua intensidade diminui com o quadrado da distância $ r $ do centro.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da casca esférica. Nesse caso, também temos duas contribuições:
- Campo devido à casca esférica: Fora da casca, o campo elétrico de uma casca esférica carregada age como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Então, o campo devido à casca é:
- Campo devido à carga central: A carga pontual -Q no centro gera também um campo:
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total fora da casca, somamos as duas contribuições:
As duas contribuições se cancelam perfeitamente, resultando em um campo elétrico zero fora da casca esférica.
Resposta
Dentro da casca esférica, o campo elétrico é dado por $ \vec{E}_{dentro} = \frac{-kQ}{r^{2}} \hat{r} $, apontando para o centro. Fora da casca esférica, o campo elétrico é zero.