VALOR: 15 PONTOS
Um fio finito de comprimento L está uniformemente carregado com uma carga +Q. Calcule o campo elétrico em um ponto distante y do centro do fio.
Observação: Todas as distribuições de cargas devem ser representadas para correção. Todos os argumentos de simetria também devem ser explicitados para correção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fio finito com comprimento $ L $ que está carregado uniformemente com uma carga total $ +Q $. A gente precisa calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma distância $ y $ do centro desse fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a distribuição de carga e a simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a densidade linear de carga do fio. Como a carga está distribuída de forma uniforme, a densidade linear de carga $ \lambda $ é a carga total dividida pelo comprimento do fio:
lambda
Isso significa que cada pedacinho do fio tem uma carga proporcional ao seu tamanho.

Passo 3

Agora, imagine uma pequena parte do fio com comprimento diferencial $ dx $. A carga nessa pequena parte será $ dq = \lambda , dx $. Queremos encontrar a contribuição do campo elétrico $ dE $ gerado por essa carga no ponto distante $ y $ do centro.

Passo 4

Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico gerado por uma carga pontual é:
dE = k , dqr^2
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $)
  • $ r $ é a distância entre a carga $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o campo.
No nosso caso, usando o teorema de Pitágoras, a distância $ r $ é:
k

Passo 5

O campo elétrico $ dE $ tem uma direção que depende da posição de $ dq $ em relação ao ponto. Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos elétricos gerados por cargas simétricas se cancelam. Dessa forma, apenas as componentes verticais se somam.
A componente vertical do campo elétrico é:
dE
Substituindo $ dE $:
dq

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total $ E $, integramos $ dE_y $ ao longo de todo o comprimento do fio. Vamos considerar o fio centrado no ponto onde estamos calculando o campo, então $ x $ varia de $ -\frac{L}{2} $ a $ \frac{L}{2} $:
E

Passo 7

Vamos resolver a integral. Primeiro, notamos que a integral é simétrica em torno de $ x = 0 $, então podemos simplificar:
x = 0
A integral $ \int \frac{dx}{(x^2 + y2){3/2}} $ é uma integral padrão que resulta em:
E = 2 cdot k , lambda , y integral0^L2 dx(x^2 + y^2)^3/2
Aplicando os limites:
integral dx(x^2 + y^2)^3/2
Simplificando:
xy^2 raizx^2 + y^2

Resposta

O campo elétrico no ponto distante $ y $ do centro do fio é dado por:
y

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