(Valor: 20%) Calcule a integral de linha
I_{3}=\frac{1}{3 \pi} \oint_{C}\left(5 y-e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(6 x+\sqrt{y^{4}+4}\right) d y
onde C é a elipse \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{25}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I_{3}=\frac{1}{3 \pi} \oint_{C}\left(5 y-e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(6 x+\sqrt{y^{4}+4}\right) d y,
onde C é a elipse \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{25}=1.\n
Informações relevantes dadas:
P(x,y)=5y-e^{\operatorname{sen} x},\qquad Q(x,y)=6x+\sqrt{y^{4}+4},
e C é a curva fechada que limita a região elíptica interior. A integral é fechada (contorno) e há um fator \dfrac{1}{3\pi} multiplicando a integral de linha.

Passo 2

Motivação do método (explicação didática do conceito que vamos usar).\n
Quando temos uma integral de linha fechada do tipo \oint_{C}P\,dx+Q\,dy e C é uma curva simples e fechada que orientamos positivamente (no sentido anti-horário), podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interior a C. A forma do Teorema de Green que usaremos é:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Aqui:
  • P(x,y) é a função que multiplica dx;
  • Q(x,y) é a função que multiplica dy;
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.\n
    Condições de aplicação: as derivadas parciais \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y devem ser contínuas na região D. No nosso caso, e^{\operatorname{sen} x} é suave em x e \sqrt{y^{4}+4} é suave em y, logo as derivadas parciais existem e são contínuas. Portanto podemos aplicar Green sem problema. Vou assumir orientação positiva (anti-horário); se a orientação fosse a oposta, o sinal mudaria, mas normalmente em enunciados não especificando toma-se anti-horário.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram em Green.\n
Temos P(x,y)=5y-e^{\operatorname{sen} x}. Derivando P em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial P}{\partial y}=5,
pois e^{\operatorname{sen} x} não depende de y.\n
Temos Q(x,y)=6x+\sqrt{y^{4}+4}. Derivando Q em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial Q}{\partial x}=6,
pois \sqrt{y^{4}+4} não depende de x.\n
Portanto o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=6-5=1.

Passo 4

Aplicar Green para transformar a integral de linha em integral dupla e simplificar.\n
Pelo Teorema de Green:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Substituindo o valor que achamos para o integrando:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} 1 \, dA.
Isso significa que a integral de linha fechada é simplesmente a área da região D limitada pela elipse C. Lembre-se que a integral original tem o fator \dfrac{1}{3\pi} na frente, então
I_{3}=\frac{1}{3\pi}\iint_{D}1\,dA=\frac{1}{3\pi}\cdot \text{Área}(D).Á

Passo 5

Calcular a área da elipse ( D).\n
A elipse dada é \dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{25}=1. Essa forma padrão corresponde a uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b dados por:
a^{2}=36\Rightarrow a=6,\qquad b^{2}=25\Rightarrow b=5.
A área de uma elipse é
\text{Área}=\pi a b.Á
Substituindo a=6 e b=5:
\text{Área}(D)=\pi\cdot 6\cdot 5=30\pi.Á

Passo 6

Finalizar cálculo de I_{3} fazendo as contas finais e cancelamentos.\n
Substituindo a área em I_{3}=\dfrac{1}{3\pi}\cdot \text{Área}(D)Á:
I_{3}=\frac{1}{3\pi}\cdot 30\pi.
Fazendo o cancelamento \pi e dividindo 30 por 3:
I_{3}=\frac{30\pi}{3\pi}=10.

Resposta

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