(Valor: 20%) Calcule a integral de linha
onde
é a elipse
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a elipse
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
e
é a curva fechada que limita a região elíptica interior. A integral é fechada (contorno) e há um fator
multiplicando a integral de linha.
Passo 2
Motivação do método (explicação didática do conceito que vamos usar).\n
Quando temos uma integral de linha fechada do tipo e
é uma curva simples e fechada que orientamos positivamente (no sentido anti-horário), podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
interior a
. A forma do Teorema de Green que usaremos é:
Quando temos uma integral de linha fechada do tipo
Aqui:
-
é a função que multiplica ; -
é a função que multiplica ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a .\n
Condições de aplicação: as derivadas parciaise devem ser contínuas na região . No nosso caso, é suave em e é suave em , logo as derivadas parciais existem e são contínuas. Portanto podemos aplicar Green sem problema. Vou assumir orientação positiva (anti-horário); se a orientação fosse a oposta, o sinal mudaria, mas normalmente em enunciados não especificando toma-se anti-horário.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram em Green.\n
Temos . Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Temos
pois
não depende de
.\n
Temos . Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Temos
pois
não depende de
.\n
Portanto o integrando de Green é
Portanto o integrando de Green é
Passo 4
Aplicar Green para transformar a integral de linha em integral dupla e simplificar.\n
Pelo Teorema de Green:
Pelo Teorema de Green:
Substituindo o valor que achamos para o integrando:
Isso significa que a integral de linha fechada é simplesmente a área da região
limitada pela elipse
. Lembre-se que a integral original tem o fator
na frente, então
Passo 5
Calcular a área da elipse (
).\n
A elipse dada é . Essa forma padrão corresponde a uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
dados por:
A elipse dada é
A área de uma elipse é
Substituindo
e
:
Passo 6
Finalizar cálculo de
fazendo as contas finais e cancelamentos.\n
Substituindo a área em :
Substituindo a área em
Fazendo o cancelamento
e dividindo
por
:
Resposta
10