Valor: 20 \% ) Calcule a integral de linha
I_{1}=\int_{C} \frac{5 \sqrt{2}}{\pi} y \operatorname{sen} z d s
onde C é a hélice circular dada pelas equações paramétricas
x=\cos t \quad y=\operatorname{sen} t \quad z=t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I_{1}=\int_{C} \frac{5 \sqrt{2}}{\pi}\, y\, \operatorname{sen} z \, d s
onde a curva C é a hélice circular dada pelas equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\operatorname{sen} t,\qquad z=t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função escalar a ser integrada ao longo da curva é f(x,y,z)=\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi}\,y\,\operatorname{sen} z.
  • A curva C está parametrizada por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t) com t\in[0,2\pi].
  • O elemento de comprimento de arco é d s. A integral pedida é do tipo “integral de uma função escalar ao longo de uma curva” (integral em relação ao comprimento de arco).

Passo 2

Fórmula que usamos (aula rápida): para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, e uma função escalar f(x,y,z), a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Explicando cada parte:
  • \mathbf{r}(t) é o ponto (x(t),y(t),z(t)) na curva.
  • f(\mathbf{r}(t)) é a função f avaliada ao longo da curva.
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial da parametrização; \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a velocidade (módulo) e transforma dt em ds.
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema.

Passo 3

Primeiro calculemos \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t) (uso \sin em TeX para \operatorname{sen}):
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;1\big).

Passo 4

Calculemos o módulo \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|:
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, isso dá
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação intuitiva: a hélice tem componente vertical constante 1, por isso a velocidade tem sempre a mesma magnitude \sqrt{2}.

Passo 5

Agora escrevemos f(\mathbf{r}(t)). Substituindo y=\sin t e z=t em f(x,y,z)=\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi}\,y\,\sin z, obtemos
f\big(\mathbf{r}(t)\big)=\frac{5\sqrt{2}}{\pi}\,\sin t\cdot\sin t =\frac{5\sqrt{2}}{\pi}\,\sin^{2}t.

Passo 6

Pela fórmula do Passo 2, a integral torna-se
I_{1}=\int_{0}^{2\pi} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{5\sqrt{2}}{\pi}\,\sin^{2}t\right)\cdot\sqrt{2}\;dt.

Passo 7

Simplificamos as constantes: \frac{5\sqrt{2}}{\pi}\cdot\sqrt{2}=\frac{5\cdot 2}{\pi}=\frac{10}{\pi}. Portanto
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\frac{10}{\pi}\,\sin^{2}t\;dt=\frac{10}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\;dt.

Passo 8

Para integrar \sin^{2}t usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Aplicando,
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\;dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\;dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\;dt-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\;dt.
Calculamos cada termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\;dt=\frac{1}{2}\cdot(2\pi)=\pi,
e
\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\;dt=\left.\frac{\sin(2t)}{2}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{\sin(4\pi)-\sin 0}{2}=0.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\;dt=\pi.

Passo 9

Substituindo esse resultado em I_{1}:
I_{1}=\frac{10}{\pi}\cdot \pi = 10.

Resposta

10

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