(Valor: 30%) Dado o campo vetorial
, definido por
seja
a curva definida pela equação vetorial
Com base nessas informações, pede-se:
(a) Verifique se o campo vetorial
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função escalar
tal que
.
(b) Calcule
.
(a) Verifique se o campo vetorial
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Campo vetorial:
- Curva parametrizada:
- Perguntas:
(a) Verificar seé conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar tal que .
(b) Calcular, onde é a curva dada pela parametrização acima, orientada pelo aumento de .
Passo 2
O que significa verificar se
é conservativo e qual critério prático usar aqui?
- Para um campo bidimensional
, uma condição suficiente e prática em domínios simplesmente conexos é:
Isso vem da igualdade mista de derivadas que a função potencial teria se
. Aqui devemos também verificar que o domínio onde
está definido é simplesmente conexo. No problema,
e
são polinômios, portanto
está definida em todo o plano
, que é simplesmente conexo — então o critério acima é aplicável.
- Identificamos
e :
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias e compare:
- Derivada parcial de
em relação a :
Expliquei: aqui tratamos
como constante e derivamos
, então o fator
permanece.
- Derivada parcial de
em relação a :
Expliquei: derivada de
em relação a
é
.
- Conclusão desta verificação:
logo a condição é satisfeita e, como o domínio é
(simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 4
Como encontrar a função potencial
tal que
?
-
Se
, então e . -
Integramos
em relação a :
onde
é uma função que pode depender só de
(constante de integração em relação a
). Expliquei: ao integrar em
tratamos
como constante.
- Agora impomos
. Calcule a partir da expressão acima:
Devemos igualar isso a
, portanto
Daí
é uma constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido a menos de constante).
- Assim uma função potencial conveniente é
Passo 5
Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (para campos conservativos) para calcular
.
- O teorema diz: se
e vai de a , então
-
Precisamos dos pontos inicial e final da curva
. Usamos a parametrização e avaliamos em e . -
Calcule
:
Portanto
- Calcule
:
então
Passo 6
Avalie
nos pontos final e inicial e subtraia:
-
Lembrando
. -
Avaliação no ponto final
:
Expliquei:
por propriedades de potências.
- Avaliação no ponto inicial
:
Expliquei:
, mas multiplica por
, dando
.
- Portanto, pelo teorema:
Resposta
(a)
é conservativo. Uma função potencial é
(à constante aditiva).\n
(b) .
(b)