(Valor: 30%) Dado o campo vetorial \mathbf{F}, definido por
\mathbf{F}(x, y)=4 x^{3} y \mathbf{i}+x^{4} \mathbf{j}
seja C a curva definida pela equação vetorial
\mathbf{r}(t)=\sqrt[4]{t^{2}+4} \mathbf{i}+2 t \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 1
Com base nessas informações, pede-se:
(a) Verifique se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função escalar f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
(b) Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Campo vetorial:
\mathbf{F}(x,y)=4x^{3}y\,\mathbf{i}+x^{4}\,\mathbf{j}.
  • Curva parametrizada:
\mathbf{r}(t)=\sqrt[4]{t^{2}+4}\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le 1.
  • Perguntas:
    (a) Verificar se \mathbf{F} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
    (b) Calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde C é a curva dada pela parametrização acima, orientada pelo aumento de t.

Passo 2

O que significa verificar se \mathbf{F} é conservativo e qual critério prático usar aqui?
  • Para um campo bidimensional \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)), uma condição suficiente e prática em domínios simplesmente conexos é:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isso vem da igualdade mista de derivadas que a função potencial teria se \mathbf{F}=\nabla f. Aqui devemos também verificar que o domínio onde \mathbf{F} está definido é simplesmente conexo. No problema, P e Q são polinômios, portanto \mathbf{F} está definida em todo o plano \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo — então o critério acima é aplicável.
  • Identificamos P e Q:
P(x,y)=4x^{3}y,\qquad Q(x,y)=x^{4}.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais necessárias e compare:
  • Derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y\bigr)=4x^{3}.
Expliquei: aqui tratamos x como constante e derivamos y, então o fator 4x^{3} permanece.
  • Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.
Expliquei: derivada de x^{4} em relação a x é 4x^{3}.
  • Conclusão desta verificação:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^{3},
logo a condição é satisfeita e, como o domínio é \mathbb{R}^{2} (simplesmente conexo), \mathbf{F} é conservativo.

Passo 4

Como encontrar a função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}?
  • Se \nabla f=(f_x,f_y)=(P,Q), então f_x=P e f_y=Q.
  • Integramos f_x=P em relação a x:
f(x,y)=\int 4x^{3}y\,dx = y\int 4x^{3}\,dx = y\bigl(x^{4}\bigr)+g(y)=x^{4}y+g(y),
onde g(y) é uma função que pode depender só de y (constante de integração em relação a x). Expliquei: ao integrar em x tratamos y como constante.
  • Agora impomos f_y=Q. Calcule f_y a partir da expressão acima:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y+g(y)\bigr)=x^{4}+g'(y).
Devemos igualar isso a Q(x,y)=x^{4}, portanto
x^{4}+g'(y)=x^{4}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Daí g(y) é uma constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido a menos de constante).
  • Assim uma função potencial conveniente é
f(x,y)=x^{4}y.

Passo 5

Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (para campos conservativos) para calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • O teorema diz: se \mathbf{F}=\nabla f e C vai de A a B, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
  • Precisamos dos pontos inicial e final da curva C. Usamos a parametrização \mathbf{r}(t) e avaliamos em t=0 e t=1.
  • Calcule \mathbf{r}(0):
\sqrt[4]{0^{2}+4}=\sqrt[4]{4}=4^{1/4}=(2^{2})^{1/4}=2^{1/2}=\sqrt{2}.
Portanto
\mathbf{r}(0)=\bigl(\sqrt{2},\,0\bigr).
  • Calcule \mathbf{r}(1):
\sqrt[4]{1^{2}+4}=\sqrt[4]{5},
então
\mathbf{r}(1)=\bigl(\sqrt[4]{5},\,2\bigr).

Passo 6

Avalie f nos pontos final e inicial e subtraia:
  • Lembrando f(x,y)=x^{4}y.
  • Avaliação no ponto final \mathbf{r}(1)=\bigl(\sqrt[4]{5},\,2\bigr):
f\bigl(\sqrt[4]{5},2\bigr)=\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr)^{4}\cdot 2=5\cdot 2=10.
Expliquei: \bigl(\sqrt[4]{5}\bigr)^{4}=5 por propriedades de potências.
  • Avaliação no ponto inicial \mathbf{r}(0)=\bigl(\sqrt{2},0\bigr):
f\bigl(\sqrt{2},0\bigr)=\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{4}\cdot 0=4\cdot 0=0.
Expliquei: \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{4}=(2^{1/2})^{4}=2^{2}=4, mas multiplica por y=0, dando 0.
  • Portanto, pelo teorema:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr)=10-0=10.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo. Uma função potencial é f(x,y)=x^{4}y (à constante aditiva).\n
(b) \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=10.

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