Dado um número real
, sejam
e
duas curvas fechadas em
, onde
é a circunferência de raio
, centrada na origem, orientada positivamente, e
é a curva quadrangular constituída pelos segmentos de retas de
a
, de
a
, de
a
e de
a
, orientada positivamente. Se
é campo vetorial dado por
determine:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha sobre
:
onde foi dado
e
é a circunferência de raio
centrada na origem, orientada positivamente (sentido anti-horário). O campo vetorial é
As informações relevantes são:
- curva
: círculo de raio , sentido anti-horário; - campo
tem singularidade em (denominador ); - precisamos calcular a circulação de
ao longo de .
Passo 2
Escolha do método: como
é um círculo simples e centrado na origem, a parametrização em coordenadas polares é direta e eficiente. Observação importante (didática): não usamos diretamente o Teorema de Green porque
tem singularidade no interior do círculo (origem), então o campo não é suave em toda a região interior e Green pode falhar. Por isso vamos parametrizar
e calcular a integral diretamente.
Passo 3
Parametrização de
: para o círculo de raio
com orientação positiva, use
Derivando em relação a
temos
Portanto
Passo 4
Interpretação em coordenadas polares (ajuda didática): escrevendo
, os vetores unitários polares são
Note que
porque
e
. Assim o campo pode ser reescrito como
Essa forma mostra bem a direção do campo: ele é tangencial (na direção
) e decai como
.
Passo 5
Avaliação de
sobre a curva
: na curva temos
constante, logo
Também, conforme passo 3,
(pois
). Vou explicitar:
.
Passo 6
Produto escalar
ao longo de
: usando as expressões anteriores,
porque
e os fatores
se cancelam.
Passo 7
Integração em
: a integral de linha torna-se
Expliquei passo a passo: integrando constante em
de
a
e simplificando.
Passo 8
Breve verificação alternativa (opcional, didática): se preferir ver com componentes, substitua
em
obtemos
e
. O produto escalar dá novamente
, levando ao mesmo resultado final.
Resposta
10