Dado um número real a>0, sejam C_{1} e C_{2} duas curvas fechadas em
\mathbb{R}^{2}
, onde C_{1} é a circunferência de raio a, centrada na origem, orientada positivamente, e C_{2} é a curva quadrangular constituída pelos segmentos de retas de (-4 a, 0) a (0,-4 a), de (0,-4 a) a (4 a, 0), de (4 a, 0) a (0,4 a) e de (0,4 a) a (-4 a, 0), orientada positivamente. Se \mathbf{F} é campo vetorial dado por
\mathbf{F}(x, y)=\frac{-5 y}{\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathbf{i}+\frac{5 x}{\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathbf{j},
determine:
\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha sobre C_{1}:
\int_{C_{1}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde foi dado a>0 e C_{1} é a circunferência de raio a centrada na origem, orientada positivamente (sentido anti-horário). O campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y)=\frac{-5y}{\pi(x^{2}+y^{2})}\,\mathbf{i}+\frac{5x}{\pi(x^{2}+y^{2})}\,\mathbf{j}.
As informações relevantes são:
  • curva C_{1}: círculo de raio a, sentido anti-horário;
  • campo \mathbf{F} tem singularidade em (0,0) (denominador x^{2}+y^{2});
  • precisamos calcular a circulação de \mathbf{F} ao longo de C_{1}.

Passo 2

Escolha do método: como C_{1} é um círculo simples e centrado na origem, a parametrização em coordenadas polares é direta e eficiente. Observação importante (didática): não usamos diretamente o Teorema de Green porque \mathbf{F} tem singularidade no interior do círculo (origem), então o campo não é suave em toda a região interior e Green pode falhar. Por isso vamos parametrizar C_{1} e calcular a integral diretamente.

Passo 3

Parametrização de C_{1}: para o círculo de raio a com orientação positiva, use
\mathbf{r}(\theta) = \bigl(a\cos\theta,\\ a\sin\theta\bigr),\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Derivando em relação a \theta temos
\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \bigl(-a\sin\theta,\\ a\cos\theta\bigr).
Portanto d\mathbf{r} = \bigl(-a\sin\theta,\\ a\cos\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Interpretação em coordenadas polares (ajuda didática): escrevendo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, os vetores unitários polares são
\mathbf{e}_{r}=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \mathbf{e}_{\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta).
Note que \bigl(-y,x\bigr) = r\,\mathbf{e}_{\theta} porque -y=-r\sin\theta e x=r\cos\theta. Assim o campo pode ser reescrito como
\mathbf{F}(x,y)=\frac{5}{\pi}\,\frac{(-y,x)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{5}{\pi}\,\frac{r\,\mathbf{e}_{\theta}}{r^{2}}=\frac{5}{\pi}\,\frac{1}{r}\,\mathbf{e}_{\theta}.
Essa forma mostra bem a direção do campo: ele é tangencial (na direção \mathbf{e}_{\theta}) e decai como 1/r.

Passo 5

Avaliação de \mathbf{F} sobre a curva C_{1}: na curva temos r=a constante, logo
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(\theta)\bigr)=\frac{5}{\pi}\,\frac{1}{a}\,\mathbf{e}_{\theta}.
Também, conforme passo 3, d\mathbf{r}=a\,\mathbf{e}_{\theta}\,d\theta (pois \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}=a\,\mathbf{e}_{\theta}). Vou explicitar: \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}=(-a\sin\theta,a\cos\theta)=a(-\sin\theta,\cos\theta)=a\,\mathbf{e}_{\theta}.

Passo 6

Produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo de C_{1}: usando as expressões anteriores,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(\theta)\bigr)\cdot d\mathbf{r} = \left(\frac{5}{\pi}\,\frac{1}{a}\,\mathbf{e}_{\theta}\right)\cdot\left(a\,\mathbf{e}_{\theta}\,d\theta\right) = \frac{5}{\pi}\,d\theta,
porque \mathbf{e}_{\theta}\cdot\mathbf{e}_{\theta}=1 e os fatores a se cancelam.

Passo 7

Integração em \theta: a integral de linha torna-se
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\frac{5}{\pi}\,d\theta =\frac{5}{\pi}\cdot(2\pi)=10.
Expliquei passo a passo: integrando constante em \theta de 0 a 2\pi e simplificando.

Passo 8

Breve verificação alternativa (opcional, didática): se preferir ver com componentes, substitua x=a\cos\theta,\\ y=a\sin\theta em
\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{-5y}{\pi(x^{2}+y^{2})},\\ \frac{5x}{\pi(x^{2}+y^{2})}\right),
obtemos \mathbf{F}=( -5\sin\theta/(\pi a),\\\ 5\cos\theta/(\pi a) ) e d\mathbf{r}=(-a\sin\theta,a\cos\theta)\,d\theta. O produto escalar dá novamente (5/\pi)\,d\theta, levando ao mesmo resultado final.

Resposta

10

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