(Valor 30) Utilize o método de separação de variáveis para obter a solução em forma de produto para a equação de derivadas parciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação de derivadas parciais
onde
é a função desconhecida de duas variáveis
e
.
O que se pede: obter soluções em forma de produto (isto é, soluções do tipo ) usando o método de separação de variáveis.
Informações úteis fornecidas: a equação é linear e homogênea em e envolve a derivada segunda em
e derivada primeira em
.
O que se pede: obter soluções em forma de produto (isto é, soluções do tipo
Informações úteis fornecidas: a equação é linear e homogênea em
Passo 2
Proponho a forma separada (ansatz)
onde
depende só de
e
depende só de
. Explico por quê: substituir essa forma na PDE transforma a equação numa expressão que depende de
e
separadamente; como o lado esquerdo dependerá só de
e o direito só de
, para que a igualdade valha para todos
cada lado deve ser igual a uma constante (separação de variáveis). Agora vamos realizar a substituição.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias para substituir na PDE:
Substituindo em
dá
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
e
não identicamente nulos) obtemos
O lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
; portanto ambos devem ser iguais a uma constante que chamo de
. Assim introduzimos a constante de separação
e obtemos duas equações ordinárias:
Passo 4
As equações separadas são
e
Vou resolver cada uma. A equação para
é uma ODE linear de primeira ordem com solução bem conhecida: integrar separando as variáveis ou reconhecer exponencial. A solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Agora a equação espacial:
que pode ser reescrita como
Para esta equação é muito natural tentar uma solução de potência do tipo
(isto porque as potências transformam bem derivadas quando aparecem coeficientes em potências de
). Calculo
quando
:
Substituindo em
obtém-se
Portanto o expoente
deve satisfazer a equação quadrática característica
Passo 6
Resolvo a quadrática para obter as raízes
Denoto
o discriminante. Dependendo de
(positivo, zero ou negativo) as soluções para
têm formas ligeiramente diferentes. Primeiro, se
e as duas raízes
e
são distintas (reais ou complexas), a solução geral real (quando possível) para
é combinação linear das potências correspondentes:
com constantes
. Logo a solução produto correspondente é
onde
e
são as raízes acima e
e a constante multiplicativa de
foram absorvidas em
.
Passo 7
Caso especial: raiz dupla. Se
, ou seja
ou
, as raízes coincidem em
Para uma raiz dupla de uma ODE linear de segunda ordem, a segunda solução independente obtém-se por redução de ordem e tem fator
. Assim a solução geral para
é
Combinando com
obtemos as soluções produto correspondentes:
Passo 8
Caso
(isto é,
): as raízes são complexas conjugadas
Nesse caso
e as combinações reais formam uma base de soluções reais:
Portanto as soluções produto reais ficam
onde
é dado acima.
Passo 9
Resumo e observações finais (rápida): para cada escolha de constante de separação
obtém-se uma família de soluções produto
descrita nos casos acima. Como a PDE é linear e homogênea, combinações lineares (superposição) dessas soluções também são soluções, então a solução geral (sujeita a condições de contorno/iniciais apropriadas) pode ser construída por combinação linear adequada dessas soluções separáveis.
Resposta
Para
arbitrária com
:
Para
(raiz dupla):
Para
(raízes complexas,
):