(Valor 20) Determine a série de Fourier para a função: f(x)=\left\{\begin{array}{r}-x^{2},-2<x<0 \\\ x^{2}, 0<x<2\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Fourier da função definida por
f(x)=\begin{cases}-x^{2},&-2<x<0,\\[4pt] x^{2},&0<x<2.\end{cases}
Informações do enunciado:
  • O domínio considerado é o intervalo (-2,2) (ou seja, a série terá período 4).
  • A função é definida por partes com x^{2} com sinais trocados à esquerda e à direita de 0.
  • O objetivo é escrever f(x) como série de Fourier periódica de período 4.]

Passo 2

Relembre a forma geral da série de Fourier em (-L,L). Para L=2 (período T=4) a série tem a forma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)+b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right),
com os coeficientes dados por
a_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx,
para n\ge1, e
a_{0}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx.
Explicação curta: essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos e \sin no intervalo simétrico (-L,L). Aqui L=2.

Passo 3

Analise simetria de f. Para x\in(0,2) tem-se f(x)=x^{2} e para -x\in(-2,0) tem-se f(-x)=-x^{2}=-f(x). Logo
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar. Consequências imediatas:
  • a_{0}=0 porque integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
  • a_{n}=0 para todo n, porque f(x)\cos(\cdot) é produto de ímpar por par que é ímpar e sua integral sobre [-2,2] é zero.
    Portanto a série de Fourier reduz-se a uma série de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

Passo 4

Calculando b_{n}. Usando a fórmula:
b_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Como f é ímpar e \sin também é ímpar, o produto f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) é par. Assim a integral em [-2,2] vale o dobro da integral em [0,2]. Logo
b_{n}=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{2}x^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2}x^{2}\sin\!\left(kx\right)\,dx,
onde simplificamos definindo
k=\frac{n\pi}{2}.
Portanto precisamos calcular
I(k)=\int_{0}^{2}x^{2}\sin(kx)\,dx.

Passo 5

Cálculo de I(k) por integração por partes (duas vezes). Primeiro passo: escolha u=x^{2}, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
I(k)=-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}\Big|_{0}^{2}+\frac{2}{k}\int_{0}^{2}x\cos(kx)\,dx.
Avaliação do termo limite:
-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}\Big|_{0}^{2}=-\frac{4\cos(2k)}{k}.
Agora calcule J(k)=\int_{0}^{2}x\cos(kx)\,dx. Integração por partes novamente: tome u=x, dv=\cos(kx)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Obtém-se
J(k)=\frac{x\sin(kx)}{k}\Big|_{0}^{2}-\frac{1}{k}\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx =\frac{2\sin(2k)}{k}-\frac{1}{k}\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{0}^{2}.
A integral restante é
\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx=\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{0}^{2}=\frac{1-\cos(2k)}{k}.
Substituindo,
J(k)=\frac{2\sin(2k)}{k}-\frac{1-\cos(2k)}{k^{2}}.
Volte a I(k):
I(k)=-\frac{4\cos(2k)}{k}+\frac{2}{k}J(k) =-\frac{4\cos(2k)}{k}+\frac{2}{k}\left(\frac{2\sin(2k)}{k}-\frac{1-\cos(2k)}{k^{2}}\right).
Simplificando,
I(k)=-\frac{4\cos(2k)}{k}+\frac{4\sin(2k)}{k^{2}}-\frac{2(1-\cos(2k))}{k^{3}}.

Passo 6

Use o fato especial de k=\dfrac{n\pi}{2}. Então 2k=n\pi e:
\sin(2k)=\sin(n\pi)=0,\qquad \cos(2k)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}.
Substituindo em I(k) obtemos
I(k)=-\frac{4(-1)^{n}}{k}-\frac{2\big(1-(-1)^{n}\big)}{k^{3}}.
Agora substitua k=\dfrac{n\pi}{2} para expressar em termos de n. Observações úteis:
\frac{1}{k}=\frac{2}{n\pi},\qquad \frac{1}{k^{3}}=\frac{8}{n^{3}\pi^{3}}.
Então
I(k)=-4(-1)^{n}\cdot\frac{2}{n\pi}-2\big(1-(-1)^{n}\big)\cdot\frac{8}{n^{3}\pi^{3}}.
Isso dá
I(k)=-\frac{8(-1)^{n}}{n\pi}-\frac{16\big(1-(-1)^{n}\big)}{n^{3}\pi^{3}}.
Reescrevendo de forma talvez mais transparente:
b_{n}=I(k)=-\frac{8(-1)^{n}}{n\pi}+\frac{16\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}\pi^{3}}.
(essas duas formas são equivalentes; a segunda evidencia o fator ((-1)^{n}-1).)

Passo 7

Interpretação por paridade (forma alternativa útil em provas). Para n par ( n=2m) tem (-1)^{n}=1 e o segundo termo some, ficando
b_{2m}=-\frac{8}{2m\pi}=-\frac{4}{m\pi}.
Para n ímpar ( n=2m-1) tem (-1)^{n}=-1 e
b_{2m-1}=\frac{8}{(2m-1)\pi}-\frac{32}{(2m-1)^{3}\pi^{3}}.
Ambas as formas valem; a forma geral compacta é conveniente para escrever a série completa.

Passo 8

Escrevendo a série final. Substituindo b_{n} em
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right),
temos a série de Fourier da função dada. Uma forma compacta é:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{8(-1)^{n}}{n\pi}+\frac{16\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}\pi^{3}}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{8(-1)^{n}}{n\pi}+\frac{16\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}\pi^{3}}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

Exercícios relacionados