Explicação curta: essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos e \sin no intervalo simétrico (-L,L). Aqui L=2.
Passo 3
Analise simetria de f. Para x\in(0,2) tem-se f(x)=x^{2} e para -x\in(-2,0) tem-se f(-x)=-x^{2}=-f(x). Logo
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar. Consequências imediatas:
a_{0}=0 porque integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
a_{n}=0 para todo n, porque f(x)\cos(\cdot) é produto de ímpar por par que é ímpar e sua integral sobre [-2,2] é zero.
Portanto a série de Fourier reduz-se a uma série de senos:
Como f é ímpar e \sin também é ímpar, o produto f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) é par. Assim a integral em [-2,2] vale o dobro da integral em [0,2]. Logo
Cálculo de I(k) por integração por partes (duas vezes). Primeiro passo: escolha u=x^{2}, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim