(valor: 1,80 ) Assinale Verdadeiro ou Falso e Justifique.
( ) Seja B=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\} uma base do V=\mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.
( ) Seja B=\{(2,-3),(-4,6)\} uma base do V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações usuais.
( ) Seja B=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right\}, onde p_{1}=2, p_{2}=t, p_{3}=t^{2}+t^{3}, p_{4}=t^{4} é uma base do espaço vetorial real \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se três conjuntos B são bases dos espaços vetoriais dados. Lembrando que, num espaço vetorial de dimensão n, um conjunto de n vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (então também gera o espaço). Se tiver mais ou menos de n vetores, não pode ser base.

Passo 2

Para V=\mathbb{R}^3 e
B=\{v_1=(1,2,-3),\;v_2=(1,0,-1),\;v_3=(0,2,4)\},
temos três vetores em \mathbb{R}^3. Montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calculamos o determinante:
\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ -3 & -1 & 4 \end{pmatrix} =1\cdot(0\cdot4-2\cdot(-1)) -1\cdot(2\cdot4-2\cdot(-3)) =1\cdot2 -1\cdot14 = -12 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e, por serem três em \mathbb{R}^3, geram todo o espaço. Logo B é base e a afirmação é Verdadeira.

Passo 3

Para V=\mathbb{R}^2 e
B=\{(2,-3),\;(-4,6)\},
note que (-4,6)=-2\,(2,-3). Logo os dois vetores são linearmente dependentes e não formam base de \mathbb{R}^2. A afirmação é Falsa.

Passo 4

No espaço \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) (polinômios de grau <=4) a dimensão é 5. O conjunto
B=\{\,2,\;t,\;t^2+t^3,\;t^4\}
tem apenas 4 vetores, portanto não pode gerar um espaço de dimensão 5. Logo não é base e a afirmação é Falsa.

Resposta

(V)
(F)
(F)

Exercícios relacionados