(valor: 2,00) Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ) abaixo e a matriz mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}\left(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\right) :
(i) \mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}.
(ii) \mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,u=(-1,8,5)\in\mathbb{R}^3 e pede:
1. As coordenadas de u em relação à base
\mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}.
2. As coordenadas de u em relação à base
\mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\}.
3. A matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B},
denotada por M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}, que satisfaz
[x]_{\mathcal B} = M_{\mathcal C}^{\mathcal B}\,[x]_{\mathcal C}.

Passo 2

Para achar [u]_{\mathcal C}, escrevemos
u = a\,(1,0,0) + b\,(1,1,0) + c\,(1,1,1).
Isso dá o sistema
(a+b+c,\;b+c,\;c)=(-1,8,5).
Da terceira componente vem c=5.
Da segunda: b+c=8\implies b=3.
Da primeira: a+b+c=-1\implies a=-1-3-5=-9.
Logo
[u]_{\mathcal C}=(-9,\,3,\,5).

Passo 3

Para achar [u]_{\mathcal B}\), escrevemos \[u =\alpha\,(1,2,-3) +\beta\,(1,0,-1) +\gamma\,(0,2,4),
que leva ao sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=-1,\\\\ 2\alpha+2\gamma=8,\\\\ -3\alpha-\beta+4\gamma=5. \end{cases}
Da segunda equação \alpha+\gamma=4\]. Da primeira \(\beta=-1-\alpha.
Substituindo na terceira:
-3\alpha-(-1-\alpha)+4(4-\alpha)=5 \;\implies -6\alpha+17=5\implies \alpha=2.
Então \beta=-3 e \gamma=4-2=2.
Logo
[u]_{\mathcal B}=(2,\,-3,\,2).

Passo 4

A matriz M_{\mathcal C}^{\mathcal B} tem colunas formadas pelas coordenadas, em \mathcal B, dos vetores de \mathcal C. Para cada v_i\in\mathcal C resolvemos
v_i =\alpha_i\,(1,2,-3) +\beta_i\,(1,0,-1) +\gamma_i\,(0,2,4),
e colocamos (\alpha_i,\beta_i,\gamma_i) como coluna i.
Fazendo isso para
v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,0), v_3=(1,1,1), obtemos
M_{\mathcal C}^{\mathcal B} =\begin{pmatrix} -1/6 & 1/6 & 0\\\\ 7/6 & 5/6 & 1\\\\ 1/6 & 1/3 & 1/2 \end{pmatrix}.

Resposta

(i) [u]_{\mathcal{C}} = (-9,\,3,\,5).
(ii) [u]_{\mathcal{B}} = (2,\,-3,\,2).
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & 0\\[6pt] \tfrac{7}{6} & \tfrac{5}{6} & 1\\[6pt] \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados