(valor: 2,00) Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ) abaixo e a matriz mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}\left(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\right) :
(i) \mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}.
(ii) \mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor \,u=(-1,8,5)\in\mathbb{R}^3 e pede: 1. As coordenadas de u em relação à base \mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}. 2. As coordenadas de u em relação à base \mathcal{B}=\{(1,2,-3),(1,0,-1),(0,2,4)\}. 3. A matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B},
denotada por M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}, que satisfaz
Da segunda equação \alpha+\gamma=4\].
Da primeira \(\beta=-1-\alpha.
Substituindo na terceira: -3\alpha-(-1-\alpha)+4(4-\alpha)=5 \;\implies -6\alpha+17=5\implies \alpha=2.
Então \beta=-3 e \gamma=4-2=2.
Logo
[u]_{\mathcal B}=(2,\,-3,\,2).
Passo 4
A matriz M_{\mathcal C}^{\mathcal B} tem colunas formadas pelas coordenadas, em \mathcal B, dos vetores de \mathcal C. Para cada v_i\in\mathcal C resolvemos