Um objeto tem sua posição em função do tempo dada por \vec{r}(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, t). A distância percorrida pelo objeto no intervalo de tempo 0 \leq t \leq 2 é igual a
(A) \sqrt{10}.
(B) \pi \sqrt{5}.
(C) 6 .
(D) 4 .
(E) 2 \sqrt{5}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica de um objeto
\displaystyle \vec r(t) = (2\cos t,\;2\sin t,\;t)
e pede a distância percorrida no intervalo 0 \le t \le 2.
O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco de uma curva no espaço, para o qual precisamos
  1. calcular a velocidade \vec v(t)=\vec r\,'(t),
  2. encontrar sua norma \|\vec v(t)\| (a velocidade escalar),
  3. integrar \|\vec v(t)\| de 0 até 2.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\vec v(t)=\vec r\,'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t,\;1).
A norma dessa velocidade é
\|\vec v(t)\| =\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t+1} =\sqrt{4+1} =\sqrt{5},
que é constante em t.

Passo 3

Como \|\vec v(t)\|=\sqrt{5} é constante, o comprimento de arco é
\int_{0}^{2}\|\vec v(t)\|\,dt =\int_{0}^{2}\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{2} =2\sqrt{5}.

Resposta

(E) 2\sqrt{5}.

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