Valor absoluto de um conjugado Mostre que \left|\bar{z}\right|=|z|.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número complexo z, o módulo de seu conjugado é igual ao módulo de z. O conteúdo aqui envolve a definição de conjugado de um número complexo e a definição de módulo em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Escrevemos z em sua forma cartesiana:
z = x + i y,
onde x e y são números reais. O conjugado de z é
\overline{z} = x - i y.

Passo 3

Pela definição de módulo em coordenadas cartesianas, temos
\lvert z\rvert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Aplicando a mesma definição ao conjugado,
\lvert \overline{z}\rvert = \sqrt{x^{2}+(-y)^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}} é exatamente \lvert z\rvert, concluímos que
\lvert \overline{z}\rvert = \lvert z\rvert.

Resposta

\lvert \overline{z}\rvert = \lvert z\rvert

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