Valor absoluto de um conjugado Mostre que \left|\bar{z}\right|=|z|.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo número complexo z, o módulo do seu conjugado \bar z é igual ao módulo de z. O conteúdo que vamos usar é a definição de conjugado de um número complexo e a definição de módulo em termos das suas partes real e imaginária.

Passo 2

Seja
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}. Por definição, o conjugado de z é
\bar z = x - i\,y.

Passo 3

Pela definição de módulo de um número complexo, temos
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
e
|\bar z| = \sqrt{x^{2} + (-y)^{2}}.

Passo 4

Como (-y)^{2} = y^{2}, segue imediatamente que
|\bar z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|.

Resposta

|\bar z| = |z|.

Exercícios relacionados