(1+\sqrt{-3})^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quadrado de 1 + \sqrt{-3}. O conteúdo envolvido é álgebra de números complexos, em particular usamos a definição de unidade imaginária \displaystyle i=\sqrt{-1} e a expansão binomial para o quadrado de uma soma.

Passo 2

Primeiro, escrevemos \sqrt{-3} em termos de i:
\sqrt{-3} = \sqrt{-1}\,\sqrt{3} = i\sqrt{3}.

Passo 3

Agora expandimos usando \,(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, com a=1 e b=i\sqrt{3}:
(1 + i\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2\cdot1\cdot i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2.

Passo 4

Calculamos cada termo:
1^2 = 1,
2\cdot1\cdot i\sqrt{3} = 2i\sqrt{3},
(i\sqrt{3})^2 = i^2\cdot3 = -1\cdot3 = -3.
Somando tudo:
1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2i\sqrt{3}.

Resposta

(1 + \sqrt{-3})^2 = -2 + 2i\sqrt{3}.

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