Questão 1 ( 11 pontos) Seja f(x, y)=\left(y^{2}-x^{2}\right) e^{y}.
(a) Determine os pontos críticos de f(x, y) se houver.
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de f, de valor máximo local de f ou de ponto de sela do gráfico de f.
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de f ?

Passo 1

O enunciado pede para a função \displaystyle f(x,y) = \bigl(y^2 - x^2\bigr)e^y
(a) encontrar os pontos críticos resolvendo \nabla f=0,
(b) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o Hessiano,
(c) determinar os valores máximos e mínimos locais quando existirem.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiro:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((y^2 - x^2)e^y\bigr) = -2x\,e^y,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((y^2 - x^2)e^y\bigr) = \bigl(2y + (y^2 - x^2)\bigr)e^y = \bigl(y^2 + 2y - x^2\bigr)e^y.

Passo 3

Para pontos críticos, impomos
f_x = -2x\,e^y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,
f_y = \bigl(y^2 + 2y - x^2\bigr)e^y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 + 2y - x^2 = 0.
Substituindo x=0 em y^2+2y=0 y(y+2)=0, isto é y=0 ou y=-2.
Logo os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(0,-2).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas para formar o Hessiano:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(-2x\,e^y) = -2\,e^y,
f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x\,e^y) = -2x\,e^y,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((y^2+2y-x^2)e^y\bigr) = \bigl(2y+2 + y^2 +2y - x^2\bigr)e^y = \bigl(y^2 + 4y + 2 - x^2\bigr)e^y.

Passo 5

Classificação em (0,0):
f_{xx}(0,0) = -2,\quad f_{yy}(0,0) = 2,\quad f_{xy}(0,0) = 0.
O determinante do Hessiano é
D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (-2)\cdot2 - 0 = -4 < 0,
logo (0,0) é ponto de sela.

Passo 6

Classificação em (0,-2):
e^{-2}>0,\quad f_{xx}(0,-2) = -2e^{-2},\quad f_{yy}(0,-2) = -2e^{-2},\quad f_{xy}(0,-2)=0.
O determinante do Hessiano vale
D = (-2e^{-2})\cdot(-2e^{-2}) - 0 = 4e^{-4} > 0
e f_{xx}(0,-2)<0, logo é máximo local.

Passo 7

Valores de f nos pontos críticos:
f(0,0) = (0 - 0)e^0 = 0 \quad(\text{ponto de sela}),
f(0,-2) = \bigl((-2)^2 - 0\bigr)e^{-2} = 4e^{-2} \quad(\text{máximo local}).á
Não há mínimo local.

Resposta

(a) Pontos críticos: (0,0) e (0,-2).
(b) (0,0) é ponto de sela; (0,-2) é máximo local.
(c) Valor máximo local: 4e^{-2}; não há valor mínimo local.

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