Questão 1 ( 11 pontos) Seja
.
(a) Determine os pontos críticos de
se houver.
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de
, de valor máximo local de
ou de ponto de sela do gráfico de
.
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
?
(a) Determine os pontos críticos de
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado pede para a função
(a) encontrar os pontos críticos resolvendo ,
(b) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o Hessiano,
(c) determinar os valores máximos e mínimos locais quando existirem.
(a) encontrar os pontos críticos resolvendo
(b) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o Hessiano,
(c) determinar os valores máximos e mínimos locais quando existirem.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiro:
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
Substituindo
em
dá
, isto é
ou
.
Logo os pontos críticos são
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas para formar o Hessiano:
Passo 5
Classificação em
:
O determinante do Hessiano é
logo
é ponto de sela.
Passo 6
Classificação em
:
O determinante do Hessiano vale
e
, logo é máximo local.
Passo 7
Valores de
nos pontos críticos:
Não há mínimo local.
Resposta
(a) Pontos críticos:
e
.
(b) é ponto de sela;
é máximo local.
(c) Valor máximo local: ; não há valor mínimo local.
(b)
(c) Valor máximo local: