Calcule as integrais triplas:
integral1^2 integral0^1 integral0^y+2 3 y e^x d z d y d x integral0^1 integral0^x integral0^x+2 y e^x z d z d y d x

Passo 1

Temos duas integrais triplas para calcular:
I1 = integral1^2 integral0^1 integral0^y+2 3y,e^x ,dz,dy,dx, I2 = integral0^1 integral0^x integral0^x+2y e^xz ,dz,dy,dx
O conteúdo envolve integrações iteradas em múltiplas variáveis, usando:
- integração direta em variáveis independentes
- técnica de substituição para integrar polinômios
- integração por partes para funções do tipo x^n e^x.

Passo 2

Para I1, integramos primeiro em z, tratando 3y e^x como constante em relação a z:
integral0^y+2 3y,e^x ,dz = 3y,e^x l[zr]0^y+2 = 3y,e^x (y+2)

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 1:
integral0^1 3y(y+2),e^x ,dy = e^x integral0^1 (3y^2 +6y) ,dy = e^x l[ y^3 +3y^2 r]0^1 = e^x (1+3) = 4e^x

Passo 4

Finalmente, integramos em x de 1 a 2:
I1 = integral1^2 4e^x ,dx = 4l[e^xr]1^2 = 4(e^2 - e)

Passo 5

Para I2, começamos integrando em z:
integral0^x+2y e^x z ,dz = e^x integral0^x+2y z ,dz = e^x cdot (x+2y)^22 = 12e^x (x+2y)^2

Passo 6

Em seguida, integramos em y de 0 a x. Fazemos a substituição u = x+2y, logo du = 2,dy, e quando y=0 temos u=x, e quando y=x temos u=3x. Assim:
integral0^x (x+2y)^2 ,dy = integralu=x^3x u^2 du2 = 12 l[u^33r]x^3x = 16(27x^3 - x^3) = 133x^3
Multiplicando pela constante externa:
integral0^x 12e^x (x+2y)^2 ,dy = 12e^x cdot 133x^3 = 136x^3 e^x

Passo 7

Falta agora integrar em x de 0 a 1:
I2 = integral0^1 136x^3 e^x ,dx = 136 integral0^1 x^3 e^x ,dx
Para integral0^1 x^3 e^x ,dx usamos integração por partes sucessivas, obtendo
integral x^3 e^x ,dx = e^x(x^3 -3x^2 +6x -6) + C
Logo, de 0 a 1:
integral0^1 x^3 e^x ,dx = l[e^x(x^3 -3x^2 +6x -6)r]0^1 = (-2e) -(-6) = 6 -2e
Portanto:
I2 = 136(6 -2e) = 13 - 133e

Resposta

I1 = 4(e^2 - e), I2 = 13 - tfrac133e.

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