O valor da área da região limitada pelas retas y=0, x=-1, x=1 e a função y(x) = 2x + 2 é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas retas $ y = 0 $, $ x = -1 $, $ x = 1 $ e pela função $ y(x) = 2x + 2 $. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, pra descobrir essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas linhas e a função se comportam no plano cartesiano. A reta $ y = 0 $ é o eixo x. As retas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $ são linhas que cortam o eixo x nesses pontos específicos. A função $ y(x) = 2x + 2 $ é uma linha reta com inclinação 2 e intercepta o eixo y em 2.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre $ y = 2x + 2 $ e $ y = 0 $ pra saber até onde a área se estende. Igualando as duas equações:
Resolvendo para x:
Então, os pontos de interseção são em $ x = -1 $ e $ x = 1 $, que já estão definidos pelas retas verticais.
Passo 4
Agora, para calcular a área entre essas curvas, vamos usar a integração definida. A área $ A $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $ sob a curva $ y(x) = 2x + 2 $ e acima de $ y = 0 $ é dada por:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de $ 2x + 2 $:
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
Passo 6
Fazendo as contas:
Resposta
A área da região limitada é $ 4 $ unidades quadradas.