O valor da área da região limitada pelas retas y=0, x=-1, x=1 e a função y(x) = 2x + 2 é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas retas $ y = 0 $, $ x = -1 $, $ x = 1 $ e pela função $ y(x) = 2x + 2 $. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, pra descobrir essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas linhas e a função se comportam no plano cartesiano. A reta $ y = 0 $ é o eixo x. As retas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $ são linhas que cortam o eixo x nesses pontos específicos. A função $ y(x) = 2x + 2 $ é uma linha reta com inclinação 2 e intercepta o eixo y em 2.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre $ y = 2x + 2 $ e $ y = 0 $ pra saber até onde a área se estende. Igualando as duas equações:
y = 2x + 2
Resolvendo para x:
y = 0
Então, os pontos de interseção são em $ x = -1 $ e $ x = 1 $, que já estão definidos pelas retas verticais.

Passo 4

Agora, para calcular a área entre essas curvas, vamos usar a integração definida. A área $ A $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $ sob a curva $ y(x) = 2x + 2 $ e acima de $ y = 0 $ é dada por:
A

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de $ 2x + 2 $:
2x + 2
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
integral (2x + 2) , dx = x^2 + 2x + C

Passo 6

Fazendo as contas:
A = (1 + 2) - (1 - 2) = 3 - (-1) = 4

Resposta

A área da região limitada é $ 4 $ unidades quadradas.

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