(valor: 2,5) A assíntota de uma hipérbole
é a reta
. o eixo focal é a reta
. um de seus vértices é o ponto
1.1 Determine a equação de
;
1.2 Determine a excentricidade de H e o comprimento do eixo conjugado;
1.2 Faça o esboço de
destacando suas assíntotas.
1.1 Determine a equação de
1.2 Determine a excentricidade de H e o comprimento do eixo conjugado;
1.2 Faça o esboço de
Passo 1
O enunciado dá as informações e perguntas abaixo:
-
Informações fornecidas:
- Uma assíntota da hipérbole
é a reta . - O eixo focal (ou eixo transverso) é a reta
. - Um vértice é o ponto
.
- Uma assíntota da hipérbole
-
Perguntas pedidas:
1.1 Determine a equação de.
1.2 Determine a excentricidade dee o comprimento do eixo conjugado.
1.3 Faça o esboço dedestacando suas assíntotas.
Vou usar essas informações diretamente para construir a hipérbole.
Passo 2
Vamos localizar o centro da hipérbole. Explicação didática: o centro de uma hipérbole com eixo focal na reta
tem coordenada
(a ordenada do centro) e sua abscissa
é tal que as assíntotas passam pelo centro. Uma assíntota dada é
, que é a reta
.
Como o centro
deve estar sobre
, temos
. Como a assíntota passa pelo centro, substituímos
em
:
Resolvendo,
Portanto o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Determinar
(semi-eixo transverso). Explicação didática: para uma hipérbole de centro
com eixo horizontal, os vértices ficam em
. O vértice dado é
. Como o centro é
, a abscissa do vértice indica
Logo
Passo 4
Relação entre as assíntotas e
. Explicação didática: para a hipérbole na forma padrão com eixo horizontal
as assíntotas são as retas
Ou seja, as inclinações das assíntotas são
.
Já sabemos que uma assíntota é
. Escrevendo-a no ponto-pendente a partir do centro
:
Comparando com
, vemos que
Como
, obtemos
Passo 5
Escrever a equação da hipérbole. Explicação didática: substitui-se
,
,
,
na forma padrão:
Como
e
, a equação fica
Passo 6
Determinar a excentricidade
. Explicação didática: para hipérbole, a distância focal
relaciona-se com
e
por
e a excentricidade é
Aqui
e
, então
Portanto
Passo 7
Determinar o comprimento do eixo conjugado. Explicação didática: o eixo conjugado é o segmento de comprimento
(a distância entre os co-vértices, que estão no eixo perpendicular ao eixo transverso). Já temos
, então o comprimento do eixo conjugado é
Passo 8
Encontrar a outra assíntota e os pontos auxiliares para o esboço. Explicação didática: as duas assíntotas são
Então explicitamente:
Coordenadas importantes para desenhar:
- Centro:
. - Vértices:
e . - Co-vértices (extremos do eixo conjugado):
e .
Passo 9
Instruções práticas para fazer o esboço (como desenhar na prova). Passos concretos e fáceis:
- Marque o centro
. - Desenhe as assíntotas
e como linhas retas que se cruzam em . - Marque os vértices em
e . A hipérbole tem ramos abertos para a esquerda e para a direita (porque o termo positivo é o de ). - Trace uma “caixa retangular” de meia-altura
e meia-largura centrada em : os vértices dessa caixa serão usados para desenhar as assíntotas como diagonais; a hipérbole se aproxima dessas diagonais. - Desenhe os dois ramos passando por
e , curvando-se para que fiquem cada vez mais próximos das assíntotas quando .
Dica: marque também os pontos dos co-vértices
e
para visualizar a caixa e a orientação.