(valor: 2,5) A assíntota de uma hipérbole H é a reta r: 2 x-y-1=0. o eixo focal é a reta y=1. um de seus vértices é o ponto V(3,1)
1.1 Determine a equação de H;
1.2 Determine a excentricidade de H e o comprimento do eixo conjugado;
1.2 Faça o esboço de H destacando suas assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá as informações e perguntas abaixo:
  • Informações fornecidas:
    • Uma assíntota da hipérbole H é a reta r: 2x-y-1=0.
    • O eixo focal (ou eixo transverso) é a reta y=1.
    • Um vértice é o ponto V(3,1).
  • Perguntas pedidas:
    1.1 Determine a equação de H.
    1.2 Determine a excentricidade de H e o comprimento do eixo conjugado.
    1.3 Faça o esboço de H destacando suas assíntotas.
Vou usar essas informações diretamente para construir a hipérbole.

Passo 2

Vamos localizar o centro da hipérbole. Explicação didática: o centro de uma hipérbole com eixo focal na reta y=1 tem coordenada k=1 (a ordenada do centro) e sua abscissa h é tal que as assíntotas passam pelo centro. Uma assíntota dada é r:\;2x-y-1=0, que é a reta y=2x-1.
Como o centro (h,k) deve estar sobre y=1, temos k=1. Como a assíntota passa pelo centro, substituímos (h,1) em y=2x-1:
1 = 2h - 1.
Resolvendo,
2h = 2 \quad\Rightarrow\quad h = 1.
Portanto o centro da hipérbole é (1,1).

Passo 3

Determinar a (semi-eixo transverso). Explicação didática: para uma hipérbole de centro (h,k) com eixo horizontal, os vértices ficam em (h\pm a, k). O vértice dado é V(3,1). Como o centro é (1,1), a abscissa do vértice indica
a = |3 - 1| = 2.
Logo \,a=2.

Passo 4

Relação entre as assíntotas e b. Explicação didática: para a hipérbole na forma padrão com eixo horizontal
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1,
as assíntotas são as retas
y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h).
Ou seja, as inclinações das assíntotas são \pm\frac{b}{a}.
Já sabemos que uma assíntota é y=2x-1. Escrevendo-a no ponto-pendente a partir do centro (1,1):
y-1 = 2(x-1).
Comparando com y-1 = \pm\frac{b}{a}(x-1), vemos que
\frac{b}{a} = 2.
Como a=2, obtemos
b = 2a = 2\cdot 2 = 4.

Passo 5

Escrever a equação da hipérbole. Explicação didática: substitui-se h=1, k=1, a=2, b=4 na forma padrão:
\frac{(x-1)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1.
Como a^2=4 e b^2=16, a equação fica
\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1.

Passo 6

Determinar a excentricidade e. Explicação didática: para hipérbole, a distância focal c relaciona-se com a e b por
c^2 = a^2 + b^2,
e a excentricidade é
e = \frac{c}{a}.
Aqui a^2 = 4 e b^2 = 16, então
c^2 = 4 + 16 = 20 \quad\Rightarrow\quad c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Portanto
e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.

Passo 7

Determinar o comprimento do eixo conjugado. Explicação didática: o eixo conjugado é o segmento de comprimento 2b (a distância entre os co-vértices, que estão no eixo perpendicular ao eixo transverso). Já temos b=4, então o comprimento do eixo conjugado é
2b = 2\cdot 4 = 8.

Passo 8

Encontrar a outra assíntota e os pontos auxiliares para o esboço. Explicação didática: as duas assíntotas são
y-1 = \pm 2(x-1).
Então explicitamente:
\text{assíntota 1: } y = 2x - 1 \quad(\text{dada}),í
\text{assíntota 2: } y = -2x + 3.í
Coordenadas importantes para desenhar:
  • Centro: (1,1).
  • Vértices: (1\pm a,\,1) = (3,1) e (-1,1).
  • Co-vértices (extremos do eixo conjugado): (1,1\pm b) = (1,5) e (1,-3).

Passo 9

Instruções práticas para fazer o esboço (como desenhar na prova). Passos concretos e fáceis:
  1. Marque o centro C(1,1).
  2. Desenhe as assíntotas y=2x-1 e y=-2x+3 como linhas retas que se cruzam em C.
  3. Marque os vértices em (-1,1) e (3,1). A hipérbole tem ramos abertos para a esquerda e para a direita (porque o termo positivo é o de (x-1)^2).
  4. Trace uma “caixa retangular” de meia-altura b=4 e meia-largura a=2 centrada em C: os vértices dessa caixa serão usados para desenhar as assíntotas como diagonais; a hipérbole se aproxima dessas diagonais.
  5. Desenhe os dois ramos passando por (3,1) e (-1,1), curvando-se para que fiquem cada vez mais próximos das assíntotas quando x\to\pm\infty.
Dica: marque também os pontos dos co-vértices (1,5) e (1,-3) para visualizar a caixa e a orientação.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1
\displaystyle e=\sqrt{5},\quad\text{comprimento do eixo conjugado}=2b=8
\displaystyle\text{Esboço: centro }(1,1),\\ \text{vértices }(3,1)\text{ e }(-1,1),\\ \text{co-vértices }(1,5),(1,-3),\\ \text{assíntotas }y=2x-1\text{ e }y=-2x+3çééí

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