(Valor até 20 pts.) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças onde F(x, y)= \left(x^{2}-y^{2}, 2 x y\right) ao mover uma partícula ao longo da circunferência de raio a,(a>0) orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=(x^{2}-y^{2},2xy) e C é a circunferência de raio a orientada no sentido anti-horário.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial em curva fechada. Vamos usar parametrização de C.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=a\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
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dx=-a\sin t\,dt,\quad dy=a\cos t\,dt.
A integral fica
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\bigl[P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr]dt.

Passo 3

Sobre a curva temos
P=x^{2}-y^{2}=a^{2}(\cos^{2}t-\sin^{2}t)=a^{2}\cos2t,
Q=2xy=2a^{2}\sin t\cos t=a^{2}\sin2t.
Então o integrando é
P\,dx+Q\,dy =a^{2}\cos2t\;(-a\sin t\,dt)+a^{2}\sin2t\;(a\cos t\,dt) =a^{3}\bigl[-\cos2t\sin t+\sin2t\cos t\bigr]dt.

Passo 4

Simplificando o termo entre colchetes:
-\cos2t\sin t+\sin2t\cos t =\sin^{3}t+\cos^{2}t\sin t =\sin t(\sin^{2}t+\cos^{2}t) =\sin t.
Portanto
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =a^{3}\sin t\,dt.

Passo 5

Integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}a^{3}\sin t\,dt =a^{3}\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} =a^{3}[-\cos(2\pi)+\cos0] =a^{3}(-1+1) =0.

Resposta

O trabalho realizado é 0.

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