(3,0) Questão 1. Calcule as derivadas em relação a x utilizando as regras de derivação.
f(x)=\operatorname{tg}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x da função
f(x)=\operatorname{tg}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em função composta. Vamos precisar de: derivada de \tan(u), derivada de \sqrt{v} e derivada de x^{2}+1.

Passo 2

Seja
u(x)=\sqrt{x^{2}+1}\,,
então
f(x)=\tan\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(\tan(u)\bigr)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Escrevendo
u(x)=(x^{2}+1)^{1/2},
temos
u'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\;\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Resposta

f'(x) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr).

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