Qual o valor de \boldsymbol{p} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}p x+y-z=4 \\\ x+p y+z=0 \text { admita uma solução única? } \\\ x-y=2\end{array}\right.çãú
Resposta:
\{p \in R / p \neq-1\}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas (x,y,z) que depende do parâmetro p. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: para que haja solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes \,A, associada ao sistema:
A = \begin{pmatrix} p & 1 & -1\\\\ 1 & p & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
O critério de existência de única solução é
\det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) = p\cdot\det\begin{pmatrix}p & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & p\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}p & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = p\cdot0 - 1\cdot(-1)=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 - 1\cdot1 = -1,
\det\begin{pmatrix}1 & p\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1) - p\cdot1 = -1 - p.
Substituindo,
\det(A) = p\cdot1 -1\cdot(-1) +(-1)\cdot(-1-p) = p +1 + (1+p) =2p+2.

Passo 4

Para ter solução única, exigimos
\det(A)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad 2p+2\neq0 \quad\Longrightarrow\quad p\neq -1.

Resposta

p \neq -1

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