(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. A função dada é
Informações relevantes:
- A expressão interior é
. - Domínio (restrição): não é permitido
porque o denominador seria zero. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Explicando as regras usadas:
- Regra da potência (ou regra da cadeia para potência): se
com constante e , então
e, pela regra da cadeia,
Aqui
é a função interior.
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Nestas fórmulas
e
são as derivadas de
e
.
Passo 3
Identificamos as funções externa e interna:
- Função externa:
. Logo . - Função interna:
.
Pela regra da cadeia,
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra do quociente. Definimos
Suas derivadas são
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Calculemos o numerador passo a passo:
então
Portanto
Passo 6
Substituindo
em
pela regra da cadeia:
Multiplicando as constantes
e combinando as potências do denominador:
Logo uma forma simplificada é
Passo 7
Podemos reescrever
. Como a potência é ímpar (
), tem-se
. Assim outra forma equivalente, frequentemente mais limpa, é
Lembrete: válido para
.