(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
f(x)=\left(\frac{7 x+13}{-x-1}\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f. A função dada é
f(x)=\left(\frac{7x+13}{-x-1}\right)^{8}.
Informações relevantes:
  • A expressão interior é \dfrac{7x+13}{-x-1}.
  • Domínio (restrição): não é permitido x=-1 porque o denominador -x-1 seria zero.
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Explicando as regras usadas:
  • Regra da potência (ou regra da cadeia para potência): se h(u)=u^{n} com n constante e u=u(x), então
h'(u)=n u^{\,n-1}
e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}h(u(x))=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interior.
  • Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p e q diferenciáveis e q(x)\neq0, então
u'(x)=\frac{p'(x)\,q(x)-p(x)\,q'(x)}{q(x)^{2}}.
Nestas fórmulas p'(x) e q'(x) são as derivadas de p e q.

Passo 3

Identificamos as funções externa e interna:
  • Função externa: h(u)=u^{8}. Logo h'(u)=8u^{7}.
  • Função interna: u(x)=\dfrac{7x+13}{-x-1}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=8\left(\frac{7x+13}{-x-1}\right)^{7}\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente. Definimos
p(x)=7x+13,\qquad q(x)=-x-1.
Suas derivadas são
p'(x)=7,\qquad q'(x)=-1.
Aplicando a regra do quociente:
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}} =\frac{7(-x-1)-(7x+13)(-1)}{(-x-1)^{2}}.

Passo 5

Calculemos o numerador passo a passo:
7(-x-1)= -7x-7,
(7x+13)(-1)=-7x-13,
então
7(-x-1)-(7x+13)(-1)=(-7x-7)-(-7x-13)=-7x-7+7x+13=6.
Portanto
u'(x)=\frac{6}{(-x-1)^{2}}.

Passo 6

Substituindo u'(x) em f'(x) pela regra da cadeia:
f'(x)=8\left(\frac{7x+13}{-x-1}\right)^{7}\cdot\frac{6}{(-x-1)^{2}}.
Multiplicando as constantes 8\cdot6=48 e combinando as potências do denominador:
\left(\frac{7x+13}{-x-1}\right)^{7}\cdot\frac{1}{(-x-1)^{2}} =\frac{(7x+13)^{7}}{(-x-1)^{9}}.
Logo uma forma simplificada é
f'(x)=\frac{48\,(7x+13)^{7}}{(-x-1)^{9}}.

Passo 7

Podemos reescrever -x-1=-(x+1). Como a potência é ímpar ( 9), tem-se (-x-1)^{9}=-(x+1)^{9}. Assim outra forma equivalente, frequentemente mais limpa, é
f'(x)=-\frac{48\,(7x+13)^{7}}{(x+1)^{9}}.
Lembrete: válido para x\neq-1.

Resposta

f'(x)=-\frac{48\,(7x+13)^{7}}{(x+1)^{9}}

Exercícios relacionados