(Valor: 2,0) Calcule o comprimento de arco da curva
y=raiz[3]x^2 ; de (0,0) até (4,8) é

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = raiz[3]x^2 = x^2/3
no intervalo de (0,0) até (4,8).
O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco para uma função y=f(x) com derivada contínua:
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y = x^2/3 Longrightarrow y' = 23x^-1/3
Portanto o comprimento de arco é
L = integral0^4 raiz1 + l(23x^-1/3r)^2 ,dx = integral0^4 raiz1 + 49,x^2/3,dx
Colocando sob um único radical:
raiz1 + 49x^2/3 = raiz9x^2/3 + 43,x^1/3,
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L = integral0^4 raiz9,x^2/3 + 43,x^1/3,dx

Passo 3

Para simplificar usamos a substituição
u = x^1/3, x = u^3, dx = 3u^2,du
Os limites viram x=0mapsto u=0 e x=4mapsto u=4^1/3.
Substituindo no integrando:
raiz9,x^2/3+43,x^1/3,dx = raiz9,u^2+43,ucdot(3u^2,du) = u,raiz9u^2+4,du
Logo
L = integral0^4^1/3 u,raiz9u^2+4,du

Passo 4

Fazemos agora t = 9u^2+4, de modo que dt = 18u,du, isto é u,du = dt/18.
Os limites em t são u=0mapsto t=4 e u=4^1/3mapsto t=9cdot4^2/3+4.
O integral fica
L = integral4^9cdot4^2/3+4 raizt,dt18 = 118cdot23l[t^3/2r]4^9cdot4^2/3+4 = 127l[l(9cdot4^2/3+4r)^3/2 - 4^3/2r]

Passo 5

Observando que 4^2/3=(4^1/3)^2 e 4^3/2=8, concluímos
L = 127l[l(9cdot4^2/3+4r)^3/2 - 8r]

Resposta

L = 127l[l(9cdot4^2/3+4r)^3/2 - 8r]

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