(valor: 2,0 ) Calcule \iiint_{E} x d V em que E é um sólido, no primeiro octante, limitado pelo cilindro (x-2)^{2}+y^{2}=4 e pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{E} x\,dV
onde E está no primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0), limitado pelo cilindro
(x-2)^{2}+y^{2}=4
e pelo plano z=4. Vamos integrar primeiro em z e depois na região plana D\subset\{z=0\}.

Passo 2

Para cada (x,y)\in D, z varia de 0 a 4. Logo
\iiint_{E} x\,dV =\iint_{D}\Bigl(\int_{0}^{4}x\,dz\Bigr)dA =\iint_{D}4x\,dA.
Aqui
D=\bigl\{(x,y)\mid(x-2)^{2}+y^{2}\le4,\;x\ge0,\;y\ge0\bigr\}.

Passo 3

Para calcular \iint_{D}x\,dA, usamos coordenadas polares centradas em (2,0):
x-2=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le\pi (para y\ge0). Então
x=2+r\cos\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos
\iint_{D}x\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}(2+r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\Bigl[\int_{0}^{2}(2r+r^{2}\cos\theta)\,dr\Bigr]d\theta.
No interior:
\int_{0}^{2}2r\,dr=4,\qquad \int_{0}^{2}r^{2}\,dr=\frac{8}{3},
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\int_{0}^{2}(2r+r^{2}\cos\theta)\,dr =4+\frac{8}{3}\cos\theta.
Integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}\Bigl(4+\tfrac{8}{3}\cos\theta\Bigr)d\theta =4\pi+\frac{8}{3}\cdot0 =4\pi.
Portanto
\iiint_{E}x\,dV =4\iint_{D}x\,dA =4\cdot4\pi =16\pi.

Resposta

16\pi

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