Questão 1. Determine \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\), sendo \(f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { se } x<1 \\\ \frac{1}{x+3} & \text { se } 1 \leq x \leq 3 \\\ \frac{1}{x-3} & \text { se } 3<x\end{cases}
(a) 3
(b) -\frac{1}{6}
(c) -\infty
(d) -5
(e) 0
(f) \infty
(g) \frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x<1,\\\ \dfrac{1}{x+3}, & 1\le x\le3,\\\ \dfrac{1}{x-3}, & x>3, \end{cases}
e pede o valor de \lim_{x\to1^{+}}f(x). Como é limite pela direita de x=1, vamos identificar qual “ramo” vale para x>1.

Passo 2

Para 1\le x\le3 (e, em particular, para x\to1^+), a definição é
f(x)=\frac{1}{x+3}.
Logo, o limite pela direita de 1 será calculado usando essa expressão.

Passo 3

Substituindo x\to1 em \frac{1}{x+3}, obtemos
\lim_{x\to1^{+}}f(x) =\lim_{x\to1^{+}}\frac{1}{x+3} =\frac{1}{1+3} =\frac{1}{4}.

Resposta

(g) \displaystyle \frac{1}{4}

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