(valor 2,0 ) Calcule lim (x, y) (0,0)(x^4+y^4+x^2+y^2+2 x^2 y^2x^2+y^2)^1 /(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0), onde a expressão tem a forma de uma base elevada a 1∕(x²+y²). Isso é um caso clássico de limite exponencial em várias variáveis, e vamos usar a substituição r²=x²+y² para simplificar e depois aplicar o limite padrão limt→0(1+t)^1/t=e.

Passo 2

Começamos escrevendo o numerador em termos de r². Note que
x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+y^2)^2=r^4
Logo o numerador original
x^4+y^4+x^2+y^2+2x^2y^2=r^4+r^2

Passo 3

Agora dividimos pelo denominador x²+y²=r² para obter a base da potência:
r^4+r^2r^2=r^2+1

Passo 4

Assim a expressão fica
(r^2+1)^1/(x^2+y^2)=(1+r^2)^1/r^2

Passo 5

Por fim, quando r→0 temos o limite padrão
limr→0(1+r^2)^1/r^2=e

Resposta

e

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