(valor 3,0 ) Sejam f(x, y)=x^2-4 y^24 x^2-y^2, D o domínio de f e P=(2,1,0).
Calcule o plano tangente em P.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por z = f(x,y) no ponto P = (2,1,0), onde f(x,y) = x^2 - 4y^24x^2 - y^2. O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula do plano tangente à gráfica de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais f_x e f_y, escrevemos f como quociente de N(x,y)=x^2 - 4y^2 e D(x,y)=4x^2 - y^2 e aplicamos a regra do quociente:
fx = Nx D - N DxD^2 = 2x(4x^2 - y^2) - (x^2 - 4y^2)cdot8x(4x^2 - y^2)^2 = 30xy^2(4x^2 - y^2)^2
fy = Ny D - N DyD^2 = -8y(4x^2 - y^2) - (x^2 - 4y^2)(-2y)(4x^2 - y^2)^2 = -30x^2y(4x^2 - y^2)^2

Passo 3

Avaliando em (x,y)=(2,1) temos:
fx(2,1) = 30cdot2cdot1^2(4cdot2^2 - 1^2)^2 = 6015^2 = 415,
fy(2,1) = -30cdot2^2cdot115^2 = -120225 = -815

Passo 4

Usamos então a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
com (x_0,y_0,z_0) = (2,1,0). Substituindo os valores obtidos:
z = 415(x-2) - 815(y-1)
Reorganizando em forma implícita:
15z = 4x - 8y
4x - 8y - 15z = 0

Resposta

4x - 8y - 15z = 0

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