Uma partícula percorre uma trajetória circular de
de raio sob a ação de um campo magnético
. Calcule:
a) A sua velocidade;
b) o seu período de rotação;
c) a sua energia cinética;
d) o valor da diferença de potencial elétrico capaz de acelerá-la até o valor da sua energia cinética.
a) A sua velocidade;
d) o valor da diferença de potencial elétrico capaz de acelerá-la até o valor da sua energia cinética.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em uma trajetória circular com raio de
sob a ação de um campo magnético de intensidade
. Precisamos calcular quatro coisas:
a) A velocidade da partícula;
b) O período de rotação da partícula;
c) A energia cinética da partícula;
d) A diferença de potencial elétrico necessária para acelerar a partícula até essa energia cinética.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força magnética, movimento circular uniforme, energia cinética e relação entre energia e potencial elétrico.
Passo 2
Vamos começar calculando a velocidade da partícula. Quando uma partícula carregada se move em um campo magnético perpendicular à sua trajetória, ela sofre uma força magnética que atua como força centrípeta, mantendo-a em movimento circular.
A força magnética é dada por:
onde:
-
é a força magnética, -
é a carga da partícula, -
é a velocidade, -
é o campo magnético.
A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade, -
é o raio da trajetória.
Igualando as duas forças:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 3
No entanto, como não temos os valores de
e
, precisamos assumir que a partícula está em equilíbrio para determinar a velocidade com base nas informações fornecidas. Mas, para continuar, vamos considerar que a velocidade pode ser expressa de outra forma usando a relação entre a força magnética e a força centrípeta sem precisar dos valores de
e
.
Na verdade, há uma forma mais direta de calcular a velocidade usando a relação entre a frequência de rotação e o campo magnético, mas para simplificar, vamos assumir que podemos determinar
diretamente a partir das equações fornecidas.
Como não temos valores específicos para
ou
, parece que precisamos de mais informações para calcular
diretamente. Neste caso, consideramos que a velocidade pode ser determinada de forma independente, assumindo que a força magnética fornece a força centrípeta necessária.
Portanto, a velocidade
pode ser calculada isolando-a na equação anterior:
Sem os valores de
e
, não podemos obter um valor numérico para
. Contudo, se considerarmos que estamos procurando uma expressão geral, podemos deixar a resposta em termos dessas variáveis.
Passo 4
Vamos agora calcular o período de rotação da partícula. O período
é o tempo que a partícula leva para completar uma volta completa na trajetória circular.
A frequência de rotação
está relacionada com o campo magnético pela equação:
O período é o inverso da frequência:
Passo 5
Em seguida, calculamos a energia cinética da partícula. A energia cinética
é dada por:
Substituindo a expressão para
que encontramos anteriormente:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a diferença de potencial elétrico
necessária para acelerar a partícula até a energia cinética calculada. A energia fornecida pela diferença de potencial é:
Resolvendo para
:
Resposta
a) A velocidade da partícula é
;
b) O período de rotação é
;
c) A energia cinética é
;
d) A diferença de potencial elétrico necessária é
.