Uma partícula percorre uma trajetória circular de 0,45 m de raio sob a ação de um campo magnético B=1,2 T. Calcule:
a) A sua velocidade; b) o seu período de rotação; c) a sua energia cinética;
d) o valor da diferença de potencial elétrico capaz de acelerá-la até o valor da sua energia cinética.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em uma trajetória circular com raio de 0,45 , m sob a ação de um campo magnético de intensidade B = 1,2 , T. Precisamos calcular quatro coisas:
a) A velocidade da partícula;
b) O período de rotação da partícula;
c) A energia cinética da partícula;
d) A diferença de potencial elétrico necessária para acelerar a partícula até essa energia cinética.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força magnética, movimento circular uniforme, energia cinética e relação entre energia e potencial elétrico.

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade da partícula. Quando uma partícula carregada se move em um campo magnético perpendicular à sua trajetória, ela sofre uma força magnética que atua como força centrípeta, mantendo-a em movimento circular.
A força magnética é dada por:
FB = q , v , B
onde:
  • FB é a força magnética,
  • q é a carga da partícula,
  • v é a velocidade,
  • B é o campo magnético.
A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é:
Fc = m , v^2r
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da trajetória.
Igualando as duas forças:
q , v , B = m , v^2r
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por v:
q , B = m , vr
Resolvendo para v:
v = q , B , rm

Passo 3

No entanto, como não temos os valores de q e m, precisamos assumir que a partícula está em equilíbrio para determinar a velocidade com base nas informações fornecidas. Mas, para continuar, vamos considerar que a velocidade pode ser expressa de outra forma usando a relação entre a força magnética e a força centrípeta sem precisar dos valores de q e m.
Na verdade, há uma forma mais direta de calcular a velocidade usando a relação entre a frequência de rotação e o campo magnético, mas para simplificar, vamos assumir que podemos determinar v diretamente a partir das equações fornecidas.
Como não temos valores específicos para q ou m, parece que precisamos de mais informações para calcular v diretamente. Neste caso, consideramos que a velocidade pode ser determinada de forma independente, assumindo que a força magnética fornece a força centrípeta necessária.
Portanto, a velocidade v pode ser calculada isolando-a na equação anterior:
v = q , B , rm
Sem os valores de q e m, não podemos obter um valor numérico para v. Contudo, se considerarmos que estamos procurando uma expressão geral, podemos deixar a resposta em termos dessas variáveis.

Passo 4

Vamos agora calcular o período de rotação da partícula. O período T é o tempo que a partícula leva para completar uma volta completa na trajetória circular.
A frequência de rotação omega está relacionada com o campo magnético pela equação:
omega = q , Bm
O período é o inverso da frequência:
T = 2piomega = 2pi mq , B

Passo 5

Em seguida, calculamos a energia cinética da partícula. A energia cinética Ec é dada por:
Ec = 12 m v^2
Substituindo a expressão para v que encontramos anteriormente:
Ec = 12 m ( q , B , rm )^2 = 12 q^2 , B^2 , r^2m

Passo 6

Por fim, vamos determinar a diferença de potencial elétrico De necessária para acelerar a partícula até a energia cinética calculada. A energia fornecida pela diferença de potencial é:
Ec = q , De
Resolvendo para De:
De

Resposta

a) A velocidade da partícula é v = q , B , rm;
b) O período de rotação é T = 2pi mq , B;
c) A energia cinética é Ec = 12 q^2 , B^2 , r^2m;
d) A diferença de potencial elétrico necessária é De.

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