Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x)=\frac{|x|^{x}}{x} em p=0

Passo 1

O enunciado pede o valor que devemos atribuir a f(0) de modo que
f(x)=\frac{|x|^{x}}{x}
seja contínua em p=0. O conteúdo envolve definição de continuidade e cálculo de limite.

Passo 2

Para f ser contínua em x=0, é preciso que exista
\lim_{x\to0}f(x)
e que esse limite seja igual a f(0).

Passo 3

Reescrevemos o numerador usando exponencial:
|x|^x = e^{x\ln|x|}.
Como
\lim_{x\to0}x\ln|x| = 0,
segue que
\lim_{x\to0} |x|^x = e^0 = 1.

Passo 4

Portanto, para x\neq0 temos
f(x)=\frac{e^{x\ln|x|}}{x},
e ao aproximar x\to0 o numerador tende a 1, ficando
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}\frac{1}{x},
o que diverge: \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty. Logo não há limite finito em 0.

Resposta

Não existe valor de f(0) que torne f contínua em 0, pois \lim_{x\to0}f(x) não é finito.

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