Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)=x \operatorname{em} p=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite, que a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=x
é contínua no ponto p=2. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em p se, para todo \epsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-p|<\delta, temos |f(x)-f(p)|<\epsilon.

Passo 2

Começamos fixando um \epsilon>0. Queremos encontrar um \delta>0 em função de \epsilon que garanta
|f(x)-f(2)|<\epsilon
sempre que |x-2|<\delta.

Passo 3

Como f(x)=x e f(2)=2, temos
|f(x)-f(2)|=|x-2|.
Logo, basta escolher \delta = \epsilon. De fato, se |x-2|<\delta então
|f(x)-f(2)| = |x-2| < \delta = \epsilon,
o que é exatamente a condição exigida pela definição de continuidade.

Passo 4

Concluímos que, para todo \epsilon>0, tomando \delta=\epsilon, garante-se |f(x)-f(2)|<\epsilon sempre que |x-2|<\delta. Portanto, f é contínua em p=2.

Resposta

A função f(x)=x é contínua no ponto x=2.

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