Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é contínua. f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}-1 & \text { se } x \in \mathbb{Z} \\\\ -x^{2}+1 & \text { se } x \notin \mathbb{Z}\end{aligned}\right.
e pede o conjunto em que f é contínua. Vamos usar a ideia de que, para um ponto x_{0}, se numa vizinhança de x_{0} a definição da função coincide com uma expressão contínua, então f será contínua em x_{0}. O possível “problema” se dá em pontos inteiros, onde muda a regra.
Passo 2
Se x_{0}\notin\mathbb{Z}, então existe \delta>0 tal que nenhum inteiro está em (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta). Nesse intervalo vale sempre a fórmula -x^{2}+1, que é contínua em todo ponto real. Logo
Concluímos que em inteiros n\neq\pm1 falha a igualdade dos limites, logo f é descontínua nesses pontos. Em n=\pm1 as duas fórmulas coincidem em valor 0, garantindo continuidade.