Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é contínua.
f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}-1 & \text { se } x \in \mathbb{Z} \\\\ -x^{2}+1 & \text { se } x \notin \mathbb{Z}\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, &\text{se }x\in\mathbb{Z},\\\\ -x^{2}+1, &\text{se }x\notin\mathbb{Z}, \end{cases}
e pede o conjunto em que f é contínua. Vamos usar a ideia de que, para um ponto x_{0}, se numa vizinhança de x_{0} a definição da função coincide com uma expressão contínua, então f será contínua em x_{0}. O possível “problema” se dá em pontos inteiros, onde muda a regra.

Passo 2

Se x_{0}\notin\mathbb{Z}, então existe \delta>0 tal que nenhum inteiro está em (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta). Nesse intervalo vale sempre a fórmula -x^{2}+1, que é contínua em todo ponto real. Logo
\lim_{x\to x_{0}}f(x) =\lim_{x\to x_{0}}\bigl(-x^{2}+1\bigr) =-x_{0}^{2}+1 =f(x_{0}),
portanto f é contínua em todo x_{0}\notin\mathbb{Z}.

Passo 3

Se x_{0}=n\in\mathbb{Z}, para a continuidade precisamos
\lim_{x\to n}f(x) \;=\;f(n).
Mas ao aproximar x\to n por não inteiros, f(x)=-x^{2}+1 e
\lim_{x\to n\,,\,x\notin\mathbb{Z}}f(x) =-n^{2}+1.
Por outro lado, f(n)=n^{2}-1. Para haver continuidade é preciso
-n^{2}+1 = n^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad 2n^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad n^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad n=\pm1.

Passo 4

Concluímos que em inteiros n\neq\pm1 falha a igualdade dos limites, logo f é descontínua nesses pontos. Em n=\pm1 as duas fórmulas coincidem em valor 0, garantindo continuidade.

Resposta

f é contínua exatamente em
\bigl(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\bigr)\,\cup\{\,-1,1\}.

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