Um tubo de 1,0m de comprimento é fechado em uma extremidade. Um arame esticado é colocado junto à extremidade aberta. O comprimento do arame é de
e sua massa é de
. Está fixado por ambas as extremidades e vibra em seu modo fundamental. Ele faz com que a coluna de ar no tubo vibre na sua frequência fundamental, por ressonância. Ache a) a frequência de oscilação da coluna de ar, b) a tração no arame. Resp. a)
, b) 82 N .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
o arame está fixado nas duas extremidades e vibra em seu modo fundamental; ele faz a coluna de ar no tubo vibrar na sua frequência fundamental por ressonância.
Perguntas:
a) Determinar a frequência fundamental da coluna de ar.
b) Determinar a tração no arame.
a) Determinar a frequência fundamental da coluna de ar.
b) Determinar a tração
Observação útil (vamos usar isso mais adiante): o arame e a coluna de ar vibram na mesma frequência por ressonância (frequência do modo fundamental do arame = frequência fundamental da coluna de ar).
Passo 2
Entender a frequência fundamental da coluna de ar (tubo fechado em uma extremidade).
Explicação didática: para um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra, o modo fundamental tem um nó de velocidade (ou um ventre de pressão) na extremidade fechada e um ventre de velocidade (ou nó de pressão) na extremidade aberta. Isso significa que o comprimento do tubo corresponde a um quarto de comprimento de onda da onda sonora no modo fundamental.
Matematicamente:
onde
é o comprimento de onda do som no ar para o modo fundamental.
A frequência
relaciona-se com a velocidade do som
e o comprimento de onda
por
Substituindo
obtemos a fórmula prática para a frequência fundamental do tubo:
Aqui:
é a frequência em hertz (
),
é a velocidade do som em
e
em metros.
Passo 3
Escolha do valor da velocidade do som
e cálculo de
.
Comentário sobre
: o enunciado não dá
. Em muitos exercícios de física básica usa‑se um valor padrão próximo de
(velocidade do som no ar à temperatura próxima de
). Observando a resposta esperada dada no enunciado (
), usaremos
, que leva ao resultado pedido. (Se fosse usada outra temperatura,
mudaria e
mudaria um pouco.)
Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Passo 4
Relação de frequência para o arame (corda) vibrando no modo fundamental.
Explicação didática: uma corda fixa nas duas extremidades tem modos de vibração estacionária. A velocidade das ondas transversais na corda é
onde
é a tração (força de tensão) na corda, e
é a massa por unidade de comprimento da corda.
O modo fundamental da corda tem comprimento de onda
(porque há meio comprimento de onda ao longo da corda no modo fundamental). Assim a frequência fundamental da corda é
Aqui:
em
,
em
,
em
e
em
.
Passo 5
Calcular a massa por unidade de comprimento
do arame.
Definição e cálculo:
Efetuando a divisão:
Passo 6
Igualar as frequências e isolar
.
Pelo enunciado, a frequência do arame no modo fundamental é igual à frequência da coluna de ar (ressoância):
Usando a expressão do arame:
Isolando
:
Elevando ao quadrado para encontrar
:
Passo 7
Substituir valores numéricos e calcular
.
Dados numéricos:
Calcule
:
Eleve ao quadrado:
Multiplique por
:
Efetuando a multiplicação:
Arredondando para dois algarismos significativos coerentes com os dados:
Passo 8
Pequena verificação e interpretação
Verificamos que com
a frequência do tubo ficou
(que arredondada dá
conforme resposta esperada) e a tração calculada no arame dá cerca de
, que coincide com o valor fornecido na resposta do enunciado. Isso confirma consistência entre as fórmulas usadas e os valores adotados.
Resposta
a)
b)
b)