Um tubo de 1,0m de comprimento é fechado em uma extremidade. Um arame esticado é colocado junto à extremidade aberta. O comprimento do arame é de \mathbf{0 , 3 0 ~} \boldsymbol{m} e sua massa é de \mathbf{0 , 0 1 0 ~ k g}. Está fixado por ambas as extremidades e vibra em seu modo fundamental. Ele faz com que a coluna de ar no tubo vibre na sua frequência fundamental, por ressonância. Ache a) a frequência de oscilação da coluna de ar, b) a tração no arame. Resp. a) \mathbf{8 3 ~ H z}, b) 82 N .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
L_{\text{tubo}}=1,0\\ \mathrm{m}
L_{\text{arame}}=0,30\\ \mathrm{m}
m_{\text{arame}}=0,010\\ \mathrm{kg}
o arame está fixado nas duas extremidades e vibra em seu modo fundamental; ele faz a coluna de ar no tubo vibrar na sua frequência fundamental por ressonância.
Perguntas:
a) Determinar a frequência fundamental da coluna de ar.
b) Determinar a tração T no arame.
Observação útil (vamos usar isso mais adiante): o arame e a coluna de ar vibram na mesma frequência por ressonância (frequência do modo fundamental do arame = frequência fundamental da coluna de ar).

Passo 2

Entender a frequência fundamental da coluna de ar (tubo fechado em uma extremidade).
Explicação didática: para um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra, o modo fundamental tem um nó de velocidade (ou um ventre de pressão) na extremidade fechada e um ventre de velocidade (ou nó de pressão) na extremidade aberta. Isso significa que o comprimento do tubo corresponde a um quarto de comprimento de onda da onda sonora no modo fundamental.
Matematicamente:
L_{\text{tubo}}=\frac{\lambda}{4}
onde \lambda é o comprimento de onda do som no ar para o modo fundamental.
A frequência f relaciona-se com a velocidade do som v e o comprimento de onda \lambda por
f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo \lambda=4L_{\text{tubo}} obtemos a fórmula prática para a frequência fundamental do tubo:
f=\frac{v}{4L_{\text{tubo}}}.
Aqui: f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}), v é a velocidade do som em \mathrm{m/s} e L_{\text{tubo}} em metros.

Passo 3

Escolha do valor da velocidade do som v e cálculo de f.
Comentário sobre v: o enunciado não dá v. Em muitos exercícios de física básica usa‑se um valor padrão próximo de 331\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som no ar à temperatura próxima de 0^\circ\mathrm{C}). Observando a resposta esperada dada no enunciado ( 83\\ \mathrm{Hz}), usaremos v=331\\ \mathrm{m/s}, que leva ao resultado pedido. (Se fosse usada outra temperatura, v mudaria e f mudaria um pouco.)
Aplicando a fórmula:
f=\frac{v}{4L_{\text{tubo}}}=\frac{331}{4\cdot 1,0}\\ \mathrm{Hz}.
Calculemos:
f=\frac{331}{4}=82,75\\ \mathrm{Hz}\approx 83\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Relação de frequência para o arame (corda) vibrando no modo fundamental.
Explicação didática: uma corda fixa nas duas extremidades tem modos de vibração estacionária. A velocidade das ondas transversais na corda é
v_{\text{corda}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tração (força de tensão) na corda, e \mu é a massa por unidade de comprimento da corda.
O modo fundamental da corda tem comprimento de onda \lambda_{\text{corda}}=2L_{\text{arame}} (porque há meio comprimento de onda ao longo da corda no modo fundamental). Assim a frequência fundamental da corda é
f_{\text{corda}}=\frac{v_{\text{corda}}}{\lambda_{\text{corda}}}=\frac{1}{2L_{\text{arame}}}\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui: f_{\text{corda}} em \mathrm{Hz}, L_{\text{arame}} em \mathrm{m}, \mu em \mathrm{kg/m} e T em \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a massa por unidade de comprimento \mu do arame.
Definição e cálculo:
\mu=\frac{m_{\text{arame}}}{L_{\text{arame}}}=\frac{0,010}{0,30}\\ \mathrm{kg/m}.
Efetuando a divisão:
\mu=0,033333\ldots\\ \mathrm{kg/m}\approx 0,0333\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 6

Igualar as frequências e isolar T.
Pelo enunciado, a frequência do arame no modo fundamental é igual à frequência da coluna de ar (ressoância):
f_{\text{corda}}=f_{\text{tubo}}=f.
Usando a expressão do arame:
f=\frac{1}{2L_{\text{arame}}}\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isolando \sqrt{T/\mu}:
\sqrt{\frac{T}{\mu}}=2L_{\text{arame}}\,f.
Elevando ao quadrado para encontrar T:
\frac{T}{\mu}=(2L_{\text{arame}}\,f)^2
T=\mu\,(2L_{\text{arame}}\,f)^2.

Passo 7

Substituir valores numéricos e calcular T.
Dados numéricos:
\mu=0,033333\ldots\\ \mathrm{kg/m},
2L_{\text{arame}}=2\cdot 0,30=0,60\\ \mathrm{m},
f=82,75\\ \mathrm{Hz}.
Calcule 2L_{\text{arame}}\,f:
2L_{\text{arame}}\,f=0,60\cdot 82,75=49,65\\ \mathrm{(m/s)}.
Eleve ao quadrado:
(2L_{\text{arame}}\,f)^2=49,65^2=2465,2225\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Multiplique por \mu:
T=\mu\,(2L_{\text{arame}}\,f)^2=0,033333\ldots\cdot 2465,2225.
Efetuando a multiplicação:
T\approx 82,17\\ \mathrm{N}.
Arredondando para dois algarismos significativos coerentes com os dados:
T\approx 82\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Pequena verificação e interpretação
Verificamos que com v=331\\ \mathrm{m/s} a frequência do tubo ficou 82,75\\ \mathrm{Hz} (que arredondada dá 83\\ \mathrm{Hz} conforme resposta esperada) e a tração calculada no arame dá cerca de 82\\ \mathrm{N}, que coincide com o valor fornecido na resposta do enunciado. Isso confirma consistência entre as fórmulas usadas e os valores adotados.

Resposta

a) 83\\ \mathrm{Hz}
b) 82\\ \mathrm{N}

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