1. (Valor: 2.5) Considere uma esfera de material magnético (raio R ) localizada na origem do sistema de coordenadas. A magnetização é dada por \vec{M}(\vec{r})=\left(a x^{2}+b\right) \hat{x}, onde a e b são constantes. Encontre as densidades de magnetização ligadas:
    (a) A densidade de corrente volumétrica \vec{J}_{b}.
    (b) A densidade de corrente superficial \vec{K}_{b}.
Dadie: Em coord. esférican (r, \theta, \varphi). o ortor unitario radial \bar{e}: \hat{r}=\operatorname{sen} \theta \cos \varphi \hat{x}+\operatorname{such} \theta \operatorname{sen} \varphi \hat{y}+\cos \theta \hat{z}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Temos uma esfera de raio R centrada na origem.
  • A magnetização é dada por \vec{M}(\vec{r})=\big(a x^{2}+b\big)\,\hat{x}, com a e b constantes.
  • Precisamos encontrar:
    (a) a densidade de corrente volumétrica ligada \vec{J}_{b};
    (b) a densidade de corrente superficial ligada \vec{K}_{b}.
  • Foi dada a expressão do versor radial em coordenadas esféricas (vou usar essa expressão quando precisar do normal na superfície):
\hat{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{y}+\cos\theta\,\hat{z}.
  • Observação: na superfície da esfera a normal externa unitária é \hat{n}=\hat{r} com r=R.

Passo 2

Fórmulas fundamentais que vamos usar (explico o que são e por que apareceram):
  • A densidade de corrente volumétrica ligada é dada por
\vec{J}_{b}=\nabla\times\vec{M}.
Isto significa que devemos calcular o rotor (curl) do campo \vec{M}: cada componente do rotor é uma combinação de derivadas parciais das componentes de \vec{M}.
  • A densidade de corrente superficial ligada é dada por
\vec{K}_{b}=\vec{M}\times\hat{n}.
Isto vem da relação entre magnetização e correntes ligadas: a magnetização equivalente produz uma corrente de volume \nabla\times\vec{M} e, na superfície, uma corrente superficial \vec{M}\times\hat{n}. Aqui \hat{n} é o versor normal externo à superfície (na esfera é \hat{r}).
Vou usar coordenadas cartesianas para calcular o rotor (porque \vec{M} está em componentes cartesianas simples) e depois avaliar \vec{K}_{b} na superfície usando a expressão de \hat{r}.

Passo 3

Calcular \vec{J}_{b}=\nabla\times\vec{M} em coordenadas cartesianas.
Escrevendo as componentes de \vec{M}:
M_x = a x^{2}+b,\qquad M_y=0,\qquad M_z=0.
A fórmula do rotor em cartesianas para \vec{M}=(M_x,M_y,M_z) é
\nabla\times\vec{M}=\Bigg(\frac{\partial M_z}{\partial y}-\frac{\partial M_y}{\partial z}\Bigg)\hat{x} +\Bigg(\frac{\partial M_x}{\partial z}-\frac{\partial M_z}{\partial x}\Bigg)\hat{y} +\Bigg(\frac{\partial M_y}{\partial x}-\frac{\partial M_x}{\partial y}\Bigg)\hat{z}.
Agora calculo cada derivada (mostrando passo a passo):
  • \dfrac{\partial M_z}{\partial y}= \dfrac{\partial 0}{\partial y}=0.
  • \dfrac{\partial M_y}{\partial z}= \dfrac{\partial 0}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial M_x}{\partial z}= \dfrac{\partial (a x^{2}+b)}{\partial z}=0 porque M_x não depende de z.
  • \dfrac{\partial M_z}{\partial x}= \dfrac{\partial 0}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial M_y}{\partial x}= \dfrac{\partial 0}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial M_x}{\partial y}= \dfrac{\partial (a x^{2}+b)}{\partial y}=0 porque M_x não depende de y.
Substituindo na fórmula do rotor:
(\nabla\times\vec{M})_x = 0-0=0,
(\nabla\times\vec{M})_y = 0-0=0,
(\nabla\times\vec{M})_z = 0-0=0.
Portanto todas as componentes são zero.

Passo 4

Conclusão para a parte (a):
Como todas as componentes do rotor são zero, a densidade de corrente volumétrica ligada é o vetor nulo:
\vec{J}_{b}=\vec{0}.
Um comentário didático rápido: isso aconteceu porque \vec{M} tem apenas componente em \hat{x} que depende só de x. Um campo que varia apenas numa direção e aponta sempre na mesma direção pode ter rotor nulo (não gera “circulação” local).

Passo 5

Agora calculo \vec{K}_{b}=\vec{M}\times\hat{n} na superfície da esfera. Aqui \hat{n}=\hat{r} e vamos avaliar \vec{M} na superfície r=R.
Primeiro escrevo \vec{M} sobre a superfície em termos de \theta,\varphi. Na superfície temos
x = R\sin\theta\cos\varphi,
portanto
M_x\big|_{r=R} = a x^{2}+b = a\big(R\sin\theta\cos\varphi\big)^{2}+b = aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b.
E \vec{M}\big|_{r=R} = M_x|_{r=R}\,\hat{x}.

Passo 6

Calcular o produto vetorial \hat{x}\times\hat{r} explicitamente usando a expressão dada para \hat{r}.
Usando
\hat{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{y}+\cos\theta\,\hat{z},
temos
\hat{x}\times\hat{r} =\hat{x}\times\big(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{x}\big) +\hat{x}\times\big(\sin\theta\sin\varphi\,\hat{y}\big) +\hat{x}\times\big(\cos\theta\,\hat{z}\big).
O primeiro termo é zero ( \hat{x}\times\hat{x}=0). Para os outros dois usamos as regras básicas dos produtos vetoriais entre versores:
\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}.
Portanto
\hat{x}\times\hat{r} =\sin\theta\sin\varphi\,(\hat{x}\times\hat{y})+\cos\theta\,(\hat{x}\times\hat{z}) =\sin\theta\sin\varphi\,\hat{z}+\cos\theta\,(-\hat{y}).
Assim
\hat{x}\times\hat{r}=\sin\theta\sin\varphi\,\hat{z}-\cos\theta\,\hat{y}.

Passo 7

Agora \vec{K}_{b}=\vec{M}\times\hat{r}=M_x|_{r=R}\,(\hat{x}\times\hat{r}). Substituindo M_x|_{r=R} e o resultado do produto vetorial,
\vec{K}_{b}(R,\theta,\varphi) =\big(aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b\big)\big(\sin\theta\sin\varphi\,\hat{z}-\cos\theta\,\hat{y}\big).
Se preferir, escrevendo os componentes em \hat{y},\hat{z}:
\vec{K}_{b}(R,\theta,\varphi) = -\big(aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b\big)\cos\theta\,\hat{y} +\big(aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b\big)\sin\theta\sin\varphi\,\hat{z}.

Resposta

(a) \vec{J}_{b}=\vec{0}.
(b) \displaystyle \vec{K}_{b}(R,\theta,\varphi)=\big(aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b\big)\big(\sin\theta\sin\varphi\,\hat{z}-\cos\theta\,\hat{y}\big).

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