(Valor: 2.5) Considere uma esfera de material magnético (raio R ) localizada na origem do sistema de coordenadas. A magnetização é dada por \vec{M}(\vec{r})=\left(a x^{2}+b\right) \hat{x}, onde a e b são constantes. Encontre as densidades de magnetização ligadas:
(a) A densidade de corrente volumétrica \vec{J}_{b}.
(b) A densidade de corrente superficial \vec{K}_{b}.
Observação: na superfície da esfera a normal externa unitária é \hat{n}=\hat{r} com r=R.
Passo 2
Fórmulas fundamentais que vamos usar (explico o que são e por que apareceram):
A densidade de corrente volumétrica ligada é dada por
\vec{J}_{b}=\nabla\times\vec{M}.
Isto significa que devemos calcular o rotor (curl) do campo \vec{M}: cada componente do rotor é uma combinação de derivadas parciais das componentes de \vec{M}.
A densidade de corrente superficial ligada é dada por
\vec{K}_{b}=\vec{M}\times\hat{n}.
Isto vem da relação entre magnetização e correntes ligadas: a magnetização equivalente produz uma corrente de volume \nabla\times\vec{M} e, na superfície, uma corrente superficial \vec{M}\times\hat{n}. Aqui \hat{n} é o versor normal externo à superfície (na esfera é \hat{r}).
Vou usar coordenadas cartesianas para calcular o rotor (porque \vec{M} está em componentes cartesianas simples) e depois avaliar \vec{K}_{b} na superfície usando a expressão de \hat{r}.
Passo 3
Calcular \vec{J}_{b}=\nabla\times\vec{M} em coordenadas cartesianas.
Escrevendo as componentes de \vec{M}:
M_x = a x^{2}+b,\qquad M_y=0,\qquad M_z=0.
A fórmula do rotor em cartesianas para \vec{M}=(M_x,M_y,M_z) é
\dfrac{\partial M_x}{\partial y}= \dfrac{\partial (a x^{2}+b)}{\partial y}=0 porque M_x não depende de y.
Substituindo na fórmula do rotor:
(\nabla\times\vec{M})_x = 0-0=0,
(\nabla\times\vec{M})_y = 0-0=0,
(\nabla\times\vec{M})_z = 0-0=0.
Portanto todas as componentes são zero.
Passo 4
Conclusão para a parte (a):
Como todas as componentes do rotor são zero, a densidade de corrente volumétrica ligada é o vetor nulo:
\vec{J}_{b}=\vec{0}.
Um comentário didático rápido: isso aconteceu porque \vec{M} tem apenas componente em \hat{x} que depende só de x. Um campo que varia apenas numa direção e aponta sempre na mesma direção pode ter rotor nulo (não gera “circulação” local).
Passo 5
Agora calculo \vec{K}_{b}=\vec{M}\times\hat{n} na superfície da esfera. Aqui \hat{n}=\hat{r} e vamos avaliar \vec{M} na superfície r=R.
Primeiro escrevo \vec{M} sobre a superfície em termos de \theta,\varphi. Na superfície temos
x = R\sin\theta\cos\varphi,
portanto
M_x\big|_{r=R} = a x^{2}+b = a\big(R\sin\theta\cos\varphi\big)^{2}+b = aR^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + b.
E \vec{M}\big|_{r=R} = M_x|_{r=R}\,\hat{x}.
Passo 6
Calcular o produto vetorial \hat{x}\times\hat{r} explicitamente usando a expressão dada para \hat{r}.
O primeiro termo é zero (\hat{x}\times\hat{x}=0). Para os outros dois usamos as regras básicas dos produtos vetoriais entre versores: \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}.
Portanto