1. (Valor: 2.5) 0 potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas potares cilindricas, é dado por A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z, onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}. Determine o vetor campo magnético \vec{B}(\vec{r}).
    Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial \bar{F} é: \vec{\nabla} \times \vec{F}=\left[\frac{1}{r} \frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right] \hat{r}+\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right] \hat{\varphi}+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r F_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi}\right] \hat{z}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Dado: o potencial vetor, em coordenadas cilíndricas, tem apenas componente azimutal
A_{\varphi}=\frac{1}{2}B r z,
onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Informação adicional fornecida: a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\left[\frac{1}{r}\frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right]\hat r +\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right]\hat\varphi +\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(rF_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial\varphi}\right]\hat z.
  • Pedido: determinar o campo magnético \vec{B}(\vec{r}) associado a esse potencial vetor.

Passo 2

Começamos identificando as componentes do potencial vetor \vec{A} em coordenadas cilíndricas. Como só foi dada A_{\varphi}, temos
A_{r}=0,\qquad A_{\varphi}=\frac{1}{2}B r z,\qquad A_{z}=0.
O campo magnético é o rotacional do potencial vetor, isto é
\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}.
Agora aplicamos a fórmula do rotacional componente a componente usando as componentes acima.

Passo 3

Cálculo da componente radial B_{r}.
Usamos
B_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}.
Aqui \displaystyle A_{z}=0, então o primeiro termo é zero. Resta calcular \partial A_{\varphi}/\partial r.
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}B r z\right).
No derivar, B e z são tratados como constantes (derivamos em relação a r), então
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}=\frac{1}{2}B z.
Portanto
B_{r}=0-\frac{1}{2}B z=-\frac{1}{2}B z.

Passo 4

Cálculo da componente azimutal B_{\varphi}.
Usamos
B_{\varphi}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r}.
Mas A_{r}=0 e A_{z}=0, logo ambas as derivadas são zero. Portanto
B_{\varphi}=0.

Passo 5

Cálculo da componente axial B_{z}.
Usamos
B_{z}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(rA_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}\right].
Como A_{r}=0, o segundo termo é zero. Calculamos rA_{\varphi}:
rA_{\varphi}=r\cdot\frac{1}{2}B r z=\frac{1}{2}B r^{2} z.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial\left(rA_{\varphi}\right)}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}B r^{2} z\right)=\frac{1}{2}B\cdot 2r\cdot z = B r z.
Dividindo por r obtemos
B_{z}=\frac{1}{r}\left(B r z\right)=B z.

Passo 6

Reunindo as três componentes obtidas, o campo magnético em coordenadas cilíndricas é
\vec{B}(\vec{r})=B_{r}\,\hat r+B_{\varphi}\,\hat\varphi+B_{z}\,\hat z =-\frac{1}{2}B z\,\hat r+0\cdot\hat\varphi+B z\,\hat z.
Podemos escrever de forma mais limpa como
\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B z\,\hat r + B z\,\hat z.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B z\,\hat r + B z\,\hat z

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