03.(Valor: 2.5) 0 potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilindricas, é dado por A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z, onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}. Determine o vetor campo magnético \vec{B}(\vec{r}).
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial \vec{F} é: \vec{\nabla} \times \vec{F}=\left[\frac{1}{r} \frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right] \hat{r}+\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right] \hat{\varphi}+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r F_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi}\right] \hat{z}.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas com apenas a componente azimutal não nula:
A_{\varphi}=\frac{1}{2}B\,r\,z,
onde B é uma constante (o enunciado também define r^{2}=x^{2}+y^{2}). A missão é determinar o vetor campo magnético \vec{B}(\vec{r}) associado a esse potencial vetor.
Informações relevantes que vamos usar:
A_{r}=0,\qquad A_{\varphi}=\frac{1}{2}B\,r\,z,\qquad A_{z}=0.
O problema pede explicitamente \vec{B}(\vec{r}).

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e direta): o campo magnético \vec{B} obtém-se a partir do potencial vetor \vec{A} pelo rotacional:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
Para não confundir a constante do enunciado com o próprio campo resultante (que também costuma ser escrito \vec{B}), vou chamar a constante dada de B_{0} temporariamente, ou seja substituir B por B_{0} nas contas e, no final, retornar ao símbolo B do enunciado. Assim:
A_{\varphi}=\frac{1}{2}B_{0}\,r\,z.
Lembrando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (fornecida no enunciado):
\nabla\times\vec{F}=\left[\frac{1}{r}\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right]\hat r +\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right]\hat\varphi +\frac{1}{r}\left[\frac{\partial(rF_{\varphi})}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial\varphi}\right]\hat z.
Aqui \hat r,\hat\varphi,\hat z são os vetores unitários cilíndricos e F_{r},F_{\varphi},F_{z} são as componentes de um campo vetorial qualquer em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso \vec{A}=(A_{r},A_{\varphi},A_{z})=(0,A_{\varphi},0).
Cálculo da componente na direção \hat r:
(\nabla\times\vec{A})_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r}.
Aqui A_{z}=0 e A_{\varphi}=\frac{1}{2}B_{0} r z não depende de \varphi. Logo a primeira parcela é zero e resta só a segunda:
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}B_{0} r z\right) =\frac{1}{2}B_{0}\,z.
Portanto
(\nabla\times\vec{A})_{r}=0-\frac{1}{2}B_{0}\,z=-\frac{1}{2}B_{0}\,z.

Passo 4

Cálculo da componente na direção \hat\varphi:
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r}.
Como A_{r}=0 e A_{z}=0, ambas as derivadas são zero, então
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=0.

Passo 5

Cálculo da componente na direção \hat z:
(\nabla\times\vec{A})_{z}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}\right].
Como A_{r}=0 a segunda parcela é zero. Então só precisamos de \partial_{r}(rA_{\varphi}). Calculamos:
rA_{\varphi}=r\cdot\left(\frac{1}{2}B_{0} r z\right)=\frac{1}{2}B_{0} r^{2} z.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}B_{0} r^{2} z\right)=\frac{1}{2}B_{0}\cdot 2r\,z=B_{0}\,r\,z.
Dividindo por r obtemos
(\nabla\times\vec{A})_{z}=\frac{1}{r}\cdot(B_{0}\,r\,z)=B_{0}\,z.

Passo 6

Agora juntamos as três componentes para escrever o campo magnético (lembre que \vec{B}=\nabla\times\vec{A}):
\vec{B}(\vec{r})=(\nabla\times\vec{A})_{r}\,\hat r+(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}\,\hat\varphi+(\nabla\times\vec{A})_{z}\,\hat z =-\frac{1}{2}B_{0}\,z\,\hat r+0\cdot\hat\varphi+B_{0}\,z\,\hat z.
Voltando ao símbolo do enunciado (substituindo B_{0} por B), o resultado final é
\boxed{\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B\,z\,\hat r+ B\,z\,\hat z.}

Resposta

\vec{B}(\vec{r})=-\dfrac{1}{2}B\,z\,\hat r+ B\,z\,\hat z

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