03.(Valor: 2.5) 0 potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilindricas, é dado por
, onde
é uma constante e
. Determine o vetor campo magnético
.
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial
é:
.
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas com apenas a componente azimutal não nula:
onde
é uma constante (o enunciado também define
). A missão é determinar o vetor campo magnético
associado a esse potencial vetor.
Informações relevantes que vamos usar:
O problema pede explicitamente
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida e direta): o campo magnético
obtém-se a partir do potencial vetor
pelo rotacional:
Para não confundir a constante do enunciado com o próprio campo resultante (que também costuma ser escrito
), vou chamar a constante dada de
temporariamente, ou seja substituir
por
nas contas e, no final, retornar ao símbolo
do enunciado. Assim:
Lembrando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (fornecida no enunciado):
Aqui
são os vetores unitários cilíndricos e
são as componentes de um campo vetorial qualquer em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso
.
Cálculo da componente na direção
:
Aqui
e
não depende de
. Logo a primeira parcela é zero e resta só a segunda:
Portanto
Passo 4
Cálculo da componente na direção
:
Como
e
, ambas as derivadas são zero, então
Passo 5
Cálculo da componente na direção
:
Como
a segunda parcela é zero. Então só precisamos de
. Calculamos:
Derivando em relação a
:
Dividindo por
obtemos
Passo 6
Agora juntamos as três componentes para escrever o campo magnético (lembre que
):
Voltando ao símbolo do enunciado (substituindo
por
), o resultado final é