Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equaçāo diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^6 x cos (2 x)+C2 e^6 x sin (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
e pede um par (alpha,beta) tal que a solução geral seja
y(x) = C1 e^6xcos(2x) + C2 e^6xsin(2x)
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
r^2 + alpha,r + beta = 0

Passo 3

Como a solução geral é da forma e^sigma x(cos omega x,sin omega x), os raízes do polinômio característico são
r1,2 = 6 pm 2,i

Passo 4

Pelas relações de Viète, se as raízes são r1 e r2, então
r1 + r2 = -alpha, r1,r2 = beta
Aqui
r1 + r2 = (6+2i)+(6-2i) = 12 Longrightarrow -alpha = 12 Longrightarrow alpha = -12,
r1,r2 = (6+2i)(6-2i) = 36 + 4 = 40 Longrightarrow beta = 40

Resposta

(alpha,beta) = (-12,,40).

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