Determine o limite, se existif, ou mostre que o limite năo existe.
lim (2 ) infty x^2 sen^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x^2sin^2yx^2+2y^2
quando (x,y) “vai para o infinito”, isto é, quando raizx^2+y^2toinfty. Para que esse limite exista, o mesmo valor deve ser obtido ao longo de qualquer caminho que leve (x,y) a “infinito”.

Passo 2

Considere o caminho em que y=0 e xtoinfty. Substituindo em f,
f(x,0)=x^2sin^2(0)x^2+2cdot0^2 =x^2cdot0x^2=0
Logo, ao longo desse caminho o limite vale
limxtoinftyf(x,0)=0

Passo 3

Agora escolha o caminho em que y=pi/2 (constante) e xtoinfty. Temos
fl(x,tfracpi2r) =x^2sin^2(pi2)x^2+2l(tfracpi2r)^2 =x^2cdot1x^2+pi^22
e, à medida que xtoinfty,
limxtoinftyfl(x,tfracpi2r) =limxtoinftyx^2x^2+pi^22 =1

Passo 4

Como pelo caminho y=0 chegamos a 0 e pelo caminho y=pi/2 chegamos a 1, o valor de f(x,y) ao “ir para o infinito” depende do caminho escolhido. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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