(Valor 2.5) Considere um filtro RC de Corrente Alternada. Construa os gráficos de tensão pico a pico VR e VC em função da frequência F. As curvas obtidas estão de acordo com a teoria? Qual a dependência teórica de VR(f) e VC(f) ?A partir desdes dois gráficos encontre a frequência de corte do circuito Justifique sua resposta
F(Hz) VR(volt) VC(volt)
600 0.36 4.00
700 0.4 4.00
850 0.49 4.00
1000 0.60 3.99
1300 0.76 3.90
1600 0.92 3.85
1900 1.08 3.80
2400 1.32 3.75
3000 1.63 3.65
4000 2.00 3.40
5000 2.33 3.20
7000 2.8 2.70
8500 3.03 2.45
10000 3.13 2.20
13000 3.45 1.80
16000 3.60 1.70
19000 3.65 1.40
24000 3.71 1.05
30000 3.78 0.85
40000 3.80 0.65

Passo 1

O enunciado pede:
  • Construir os gráficos de tensão pico a pico V_R e V_C em função da frequência F a partir da tabela fornecida.
  • Dizer se as curvas observadas estão de acordo com a teoria.
  • Apresentar a dependência teórica de V_R(f) e V_C(f).
  • A partir desses gráficos, encontrar a frequência de corte do circuito e justificar.
Dados numéricos fornecidos (peguei estes valores da tabela enviada):
  • Pares (F,\;V_R,\;V_C) em Hz e volt (pico a pico):
    (600,\;0,36,\;4{,}00),\; (700,\;0{,}40,\;4{,}00),\; (850,\;0{,}49,\;4{,}00),\; (1000,\;0{,}60,\;3{,}99),\; (1300,\;0{,}76,\;3{,}90),\; (1600,\;0{,}92,\;3{,}85),\; (1900,\;1{,}08,\;3{,}80),\; (2400,\;1{,}32,\;3{,}75),\; (3000,\;1{,}63,\;3{,}65),\; (4000,\;2{,}00,\;3{,}40),\; (5000,\;2{,}33,\;3{,}20),\; (7000,\;2{,}80,\;2{,}70),\; (8500,\;3{,}03,\;2{,}45),\; (10000,\;3{,}13,\;2{,}20),\; (13000,\;3{,}45,\;1{,}80),\; (16000,\;3{,}60,\;1{,}70),\; (19000,\;3{,}65,\;1{,}40),\; (24000,\;3{,}71,\;1{,}05),\; (30000,\;3{,}78,\;0{,}85),\; (40000,\;3{,}80,\;0{,}65).
Observações úteis para a análise:
  • Em baixas frequências V_C está próximo de 4{,}00\\ \text{V}_{\text{p-p}} e V_R é pequeno; isso sugere que a tensão de entrada V_{in} (pico a pico) está próxima de 4{,}00\\ \text{V}.
  • Em altas frequências V_R tende para algo próximo de 3{,}8\\ \text{V}_{\text{p-p}} e V_C decresce, compatível com um comportamento limite.

Passo 2

Aula rápida (conceito + fórmulas) — circuito série R e C com entrada V_{in} em série e saídas medidas em R ( V_R) e em C ( V_C).
  1. Impedâncias e phasors:
  • Impedância do resistor: Z_R = R.
  • Impedância do capacitor: Z_C = \dfrac{1}{j\omega C}, onde \omega = 2\pi f e j é a unidade imaginária.
  1. Divisor de tensão em regime senoidal (phasor):
  • A função de transferência para a tensão no resistor (normalizada a V_{in}) é
H_R(j\omega)=\frac{Z_R}{Z_R+Z_C}=\frac{R}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}.
  • A função de transferência para a tensão no capacitor é
H_C(j\omega)=\frac{Z_C}{Z_R+Z_C}=\frac{\dfrac{1}{j\omega C}}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}.
  1. Magnitudes (o que medimos como p-p segue a mesma razão):
  • Defina a frequência de corte \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi RC}. Então \omega RC = \dfrac{f}{f_c}.
  • Magnitude de H_R:
|H_R(f)|=\frac{\dfrac{f}{f_c}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_c}\right)^2}}.
  • Magnitude de H_C:
|H_C(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_c}\right)^2}}.
  • Tensões medidas (pico a pico) relacionam-se com V_{in} por
V_R(f)=V_{in}\,|H_R(f)|,\qquad V_C(f)=V_{in}\,|H_C(f)|.
  1. Interpretação qualitativa:
  • V_R(f) cresce com f; em baixas f tende a 0, em altas f tende a V_{in}. Logo a saída no resistor é um filtro passa-altas.
  • V_C(f) decresce com f; em baixas f tende a V_{in}, em altas f tende a 0. Logo a saída no capacitor é um filtro passa-baixas.
  • A frequência de corte é o ponto onde |H_R|=|H_C|=1/\sqrt{2}, isto é, f=f_c. Nesse ponto V_R=V_C=V_{in}/\sqrt{2}.

Passo 3

Estimativa prática de V_{in} a partir dos dados:
  • Em baixas frequências V_C está quase igual a V_{in}. Pegando os primeiros pontos (600–850 Hz) vemos V_C\approx 4{,}00\\ \text{V}_{\text{p-p}}.
    Logo vou usar \displaystyle V_{in}\approx 4{,}00\\ \text{V}_{\text{p-p}} como aproximação prática (isso facilita comparação com as fórmulas; a diferença real vem de medidas e fase, mas é um bom ponto de partida).

Passo 4

Verificação qualitativa: os dados mostram exatamente o comportamento previsto:
  • V_R aumenta monotonicamente quando f aumenta (de 0{,}36 em 600\\ \text{Hz} para 3{,}80 em 40000\\ \text{Hz}).
  • V_C diminui monotonicamente (de 4{,}00 em 600\\ \text{Hz} para 0{,}65 em 40000\\ \text{Hz}).
    Portanto, qualitativamente, as curvas estão de acordo com a teoria (passa-altas em R, passa-baixas em C).

Passo 5

Determinação da frequência de corte a partir dos gráficos/dados (duas maneiras práticas, ambas usando os dados tabulados):
Método A — ponto onde V_R e V_C se cruzam (experimentalmente V_R=V_C aproxima f_c porque nesse ponto |H_R|=|H_C|):
  • Observe a tabela: em 5000\\ \text{Hz} tem V_R=2{,}33 e V_C=3{,}20. Em 7000\\ \text{Hz} tem V_R=2{,}80 e V_C=2{,}70. O cruzamento ocorre entre 5000 e 7000\\ \text{Hz}.
  • Faço interpolação linear para achar f tal que V_R(f)=V_C(f). Para 5000\to7000 temos: V_R(f)=2{,}33+0{,}000235\,(f-5000),
V_C(f)=3{,}20-0{,}00025\,(f-5000).
Igualando e resolvendo:
2{,}33+0{,}000235\,(f-5000)=3{,}20-0{,}00025\,(f-5000).
0{,}000485\,(f-5000)=0{,}87 \quad\Rightarrow\quad f-5000\approx1793{,}8.
f\approx6793{,}8\\ \text{Hz}\approx6{,}79\\ \text{kHz}.
Método B — ponto onde V_C(f)=V_{in}/\sqrt{2} (definição teórica de corte para saída do capacitor):
  • Com \displaystyle V_{in}\approx4{,}00\\ \text{V} temos V_{in}/\sqrt{2}\approx\frac{4{,}00}{1{,}4142}\approx2{,}828\\ \text{V}.
  • Na tabela V_C cruza esse valor entre 5000\\ \text{Hz} ( 3{,}20) e 7000\\ \text{Hz} ( 2{,}70). Interpolando: 3{,}20-0{,}00025\,(f-5000)=2{,}828 \quad\Rightarrow\quad f-5000\approx1488.
f\approx6488\\ \text{Hz}\approx6{,}49\\ \text{kHz}.
Comentário sobre as duas estimativas:
  • Método A deu f\approx6{,}79\\ \text{kHz}.
  • Método B deu f\approx6{,}49\\ \text{kHz}.
    A diferença (~ \pm 300\\ \text{Hz}) é razoável para medidas experimentais (ruído, erros de leitura, arredondamento e suposição V_{in}=4{,}00\\ \text{V}). Como resultado, uma estimação prática e conservadora para a frequência de corte é
f_c\approx(6{,}5\\ \text{a}\\\ 6{,}8)\\ \text{kHz},
e, tomando um valor representativo, pode-se citar f_c\approx6{,}8\\ \text{kHz}.
Cálculo do produto RC associado:
RC=\frac{1}{2\pi f_c}\approx\frac{1}{2\pi\cdot6794}\approx2{,}34\times10^{-5}\\ \text{s}=23{,}4\\ \mu\text{s}.

Passo 6

Resumo/justificativa curta e amigável (por que esse f_c faz sentido):
  • Teoricamente, em f=f_c vale |H_C|=|H_R|=1/\sqrt{2}, então V_C=V_R=V_{in}/\sqrt{2}. Nos dados observamos esse comportamento por volta de 6{,}5 6{,}8\\ \text{kHz}: V_R e V_C são aproximadamente iguais e próximos de 2{,}8\\ \text{V}, o que confirma a estimativa prática de f_c.
  • Além disso, os comportamentos extremos (em baixas f, V_C\approx V_{in} e V_R\approx0; em altas f, V_R\approx V_{in} e V_C\approx0) batem com as fórmulas mostradas, então as curvas estão de acordo com a teoria.

Resposta

As dependências teóricas são:
V_R(f)=V_{in}\dfrac{\dfrac{f}{f_c}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_c}\right)^2}}
V_C(f)=V_{in}\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_c}\right)^2}}
As curvas medidas estão de acordo com a teoria ( V_R aumenta com f, V_C diminui com f, limites em baixa/alta frequência OK).
Frequência de corte estimada a partir dos gráficos/dados: f_c\approx6{,}8\\ \text{kHz} (estimativa prática; intervalo confiável 6{,}5 6{,}8\\ \text{kHz}).
Produto RC correspondente (aprox.): RC\approx2{,}34\times10^{-5}\\ \text{s}\approx23{,}4\\ \mu\text{s}.

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