(d) Qual o calor líquido durante um ciclo (lembre que o calor líquido é dado por
)?
Em um ciclo, temos que
. Logo,
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos claramente:
- Pergunta: qual o calor líquido durante um ciclo, sabendo que o calor líquido é dado por
. - Informação importante dada: no ciclo vale
. - Aparecem as grandezas
, , , ; isso indica um ciclo que tem dois níveis de pressão e e dois volumes e (o resultado a ser obtido envolve essas quatro grandezas).
Nada mais é pedido além de encontrarem função dessas grandezas.
Passo 2
Entendendo a primeira lei da termodinâmica e o sinal de
usado aqui (a parte teórica que vai salvar sua prova):
- A primeira lei, numa forma conveniente, é
onde
é a variação da energia interna do sistema,
é o calor trocado com o ambiente (positivo quando entra no sistema) e
é o trabalho que aparece na equação. É crucial saber qual convenção de sinal está sendo usada para
.
- No enunciado já foi dado
. Com essa forma, é o trabalho realizado SOBRE o sistema (work on system). Isso implica que: - Trabalho realizado pelo gás (work by system) tem sinal contrário:
. - Consequência imediata para um ciclo fechado (onde
) é
- Trabalho realizado pelo gás (work by system) tem sinal contrário:
Ou seja: o calor líquido
é o negativo do trabalho que aparece na equação (que é trabalho sobre o sistema). Outra forma útil de ver isso é escrever
como o trabalho realizado pelo gás:
pois
.
Passo 3
Como calcular o trabalho
para o ciclo considerado (interpretação geométrica no diagrama
versus
):
- O trabalho realizado pelo gás ao longo de um processo reversível é dado por
- Num ciclo fechado esse trabalho é a integral de linha fechada
, que geometricamente corresponde à área encerrada pela curva no diagrama vs . - Se o ciclo é o retângulo definido pelos níveis de pressão
e e pelos volumes e (ou seja, dois ramos isobáricos horizontais e dois ramos verticalistas onde ), então as contribuições ao trabalho vêm somente dos ramos com variação de volume (os isobáricos horizontais). Nos ramos verticais e portanto .
Passo 4
Calcule passo a passo o trabalho pelo gás
para o retângulo
:
- No trecho de expansão isobárica superior, de
para à pressão :
- No trecho de retorno isobárico inferior, de
para à pressão :
- Os outros dois trechos verticais têm
, então não contribuem. - Somando as contribuições:
- Fatorando
:
Passo 5
Relacionando o resultado com
usando a primeira lei e interpretando o sinal:
- Lembremos que, segundo a convenção adotada no enunciado,
e . Portanto . - Substituindo o trabalho pelo gás que acabamos de obter:
- Sobre o sinal: se
e (situação típica de um ciclo que passa por uma expansão a e compressão a com ), então e portanto , isto é, calor líquido entra no sistema ao longo do ciclo. Isso bate com a interpretação geométrica: a área do retângulo no diagrama - é positiva.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
,
,
,
(unidades quaisquer consistentes).
- Então
ou seja, calor líquido
nas unidades escolhidas entra no sistema.