Qual é o valor da derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c. 13
d. 16
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c. 13
d. 16
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor da derivada direcional da função $ f(x, y, z) = 7x + 3yz $ no ponto $ (1, 1, 2) $ na direção do vetor $ (1, 1, 1) $. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivada direcional da Cálculo Multivariável, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
(porque a derivada de em relação a é 7) -
(a derivada de em relação a é ) -
(a derivada de em relação a é )
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado $ (1, 1, 2) $. Substituindo $ y = 1 $ e $ z = 2 $ na expressão do gradiente:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção $ (1, 1, 1) $. Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário, que tem comprimento igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{u} = (a, b, c) $ é:
Onde $ ||\mathbf{u}|| $ é a norma (comprimento) do vetor:
Para o vetor $ (1, 1, 1) $:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada. A fórmula é:
Vamos calcular:
Resposta
A derivada direcional é $ \boxed{ \dfrac{16}{\sqrt{3}} } $. Portanto, a opção b está correta.