Qual é o valor da derivada direcional de f(x, y, z)=7 x+3 y z no ponto (1,1,2) e na direção do vetor (1,1,1)?
Escolha uma opção:
a. 10 / raiz 3
b. 16 / raiz 3
c. 13
d. 16
e. 13 / raiz 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor da derivada direcional da função $ f(x, y, z) = 7x + 3yz $ no ponto $ (1, 1, 2) $ na direção do vetor $ (1, 1, 1) $. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivada direcional da Cálculo Multivariável, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
f
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) (porque a derivada de partial fpartial x = 7 em relação a 7x é 7)
  • x (a derivada de partial fpartial y = 3z em relação a 3yz é y)
  • 3z (a derivada de partial fpartial z = 3y em relação a 3yz é z)
Então, o gradiente é:
3y

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado $ (1, 1, 2) $. Substituindo $ y = 1 $ e $ z = 2 $ na expressão do gradiente:
(1, 1, 2)

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção $ (1, 1, 1) $. Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário, que tem comprimento igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{u} = (a, b, c) $ é:
(1, 1, 1)
Onde $ ||\mathbf{u}|| $ é a norma (comprimento) do vetor:
u = (a, b, c)
Para o vetor $ (1, 1, 1) $:
uunit = u||u||
Então, o vetor unitário é:
||u||

Passo 5

Agora, a derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada. A fórmula é:
Du f = nabla f cdot uunit
Vamos calcular:
nabla f(1, 1, 2) cdot uunit = (7, 6, 3) cdot ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
= 7 times 1raiz3 + 6 times 1raiz3 + 3 times 1raiz3
= 7 + 6 + 3raiz3 = 16raiz3

Resposta

A derivada direcional é $ \boxed{ \dfrac{16}{\sqrt{3}} } $. Portanto, a opção b está correta.

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