O valor do desconto composto racional de um título no valor de \mathrm{R} \ 20.000,00 , com prazo para 30 dias para vencimento e taxa cobrada de4 %$ ao mês, é:
a) \mathrm{R} \ 620,00$
b) \mathrm{R} \ 850,00$
c) \mathrm{R} \ 950,00$
d) \mathrm{R} \ 769,00$
e) R \ 820,00$

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Valor nominal (valor de face) do título: N=\mathrm{R}\$\;20.000{,}00.
  • Prazo até o vencimento: 30 dias.
  • Taxa cobrada: 4\% ao mês, ou seja i=4\%=0{,}04 por mês.
    A pergunta é: qual é o valor do desconto composto racional desse título? (Ou seja, quanto se desconta do valor nominal ao antecipar o recebimento usando desconto composto racional.)

Passo 2

Entender o que é “desconto composto racional” e escrever a fórmula que vamos usar.
  • No regime composto, a relação entre valor presente P (o que se recebe hoje) e valor futuro N (valor de face) é
N = P(1+i)^n,
onde i é a taxa por período e n é o número de períodos.
  • Isolando P obtemos o valor presente
P=\frac{N}{(1+i)^n}.
  • O desconto racional composto D é simplesmente a diferença entre o valor nominal e o valor presente:
D = N - P = N - \frac{N}{(1+i)^n}.
Podemos escrever isso de forma equivalente e mais prática:
D = N\left(1-\frac{1}{(1+i)^n}\right).
Em palavras: calcula-se primeiro quanto vale o título hoje ( P) usando juros compostos e subtrai-se de N.

Passo 3

Determinar o número de períodos n compatível com a taxa dada.
  • A taxa foi dada em 4\% ao mês e o prazo é 30 dias, que corresponde a exatamente 1 mês. Portanto
n=1.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula do desconto e simplificar passo a passo.
  • Usando n=1, i=0{,}04 e N=\mathrm{R}\$\;20.000{,}00,
D = N\left(1-\frac{1}{1+i}\right).
  • Substituindo:
D = 20.000\left(1-\frac{1}{1{,}04}\right).
  • Calcule a fração interna. Primeiro note que
1-\frac{1}{1{,}04}=\frac{1{,}04-1}{1{,}04}=\frac{0{,}04}{1{,}04}.
  • Escrevendo em fração racional:
\frac{0{,}04}{1{,}04}=\frac{4}{104}=\frac{1}{26}.
  • Portanto
D = 20.000\cdot\frac{1}{26}=\frac{20.000}{26}.
  • Dividindo:
\frac{20.000}{26}=769{,}230769\ldots
ou seja aproximadamente \mathrm{R}\$\;769{,}23.

Passo 5

Interpretação e escolha entre as alternativas dadas:
  • Calculamos o desconto racional composto e obtivemos cerca de \mathrm{R}\$\;769{,}23.
  • Entre as alternativas fornecidas, a mais próxima (e a correta para este contexto) é a alternativa (d) \mathrm{R}\$\;769{,}00.

Resposta

d) \mathrm{R}\$\;769{,}23

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