(Valor 1,5) Encontre e esboce no plano cartesiano o dominio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e esboçar no plano cartesiano o domínio da função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}-y\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida em duas variáveis reais (x,y).
  • A expressão dentro do logaritmo é x^{2}-y.
  • Precisa-se determinar todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) faz sentido (ou seja, o domínio) e também mostrar como esse conjunto aparece no plano (x,y).

Passo 2

Lembrete sobre o domínio do logaritmo natural: a função \ln(t) está definida apenas para argumentos positivos, ou seja, somente para valores de t que satisfaçam
t>0.
Explicando: o logaritmo natural não aceita zero nem números negativos porque não existe u\in\mathbb{R} tal que e^{u}=0 nem e^{u}<0. Por isso, sempre que houver \ln(\text{algo}), impõe-se a condição \text{algo}>0.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso caso: é necessário que o argumento x^{2}-y seja positivo. Portanto a condição para o domínio é
x^{2}-y>0.
Agora vamos isolar y para interpretar geometricamente essa desigualdade.

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade em função de y:
x^{2}-y>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -y>-x^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad y<x^{2}.
Assim, o domínio são todos os pontos (x,y) em que a ordenada y é estritamente menor que x^{2}.

Passo 5

Escrevendo o domínio em notação de conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}\}.
Explicação do que isso significa: é a região do plano abaixo da curva y=x^{2}. A desigualdade é estrita ( <), portanto a própria parábola y=x^{2} não pertence ao domínio (a fronteira está excluída).

Passo 6

Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
  • O ponto (0,-1): x^{2}-y=0^{2}-(-1)=1>0, logo pertence ao domínio.
  • O ponto (0,0): 0^{2}-0=0, não pertence (argumento do \ln seria zero).
  • O ponto (1,1): 1^{2}-1=0, não pertence.
  • O ponto (1,0): 1^{2}-0=1>0, pertence.
  • O ponto (2,5): 4-5=-1<0, não pertence.

Passo 7

Como esboçar no plano:
  • Desenhe a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), abre para cima, eixo de simetria no eixo y.
  • Como a desigualdade é y<x^{2}, sombreie a região que fica abaixo dessa parábola.
  • Como a fronteira não pertence ao domínio, desenhe a parábola com linha tracejada (ou fina) para indicar que ela está excluída do domínio.
  • Opcionalmente marque um ponto interior (por exemplo (0,-1)) para mostrar um exemplo de ponto que pertence.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}\}

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