(Valor 1,5) Encontre e esboce no plano cartesiano o dominio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e esboçar no plano cartesiano o domínio da função
Informações relevantes dadas:
- A função está definida em duas variáveis reais
. - A expressão dentro do logaritmo é
. - Precisa-se determinar todos os pares
para os quais faz sentido (ou seja, o domínio) e também mostrar como esse conjunto aparece no plano .
Passo 2
Lembrete sobre o domínio do logaritmo natural: a função
está definida apenas para argumentos positivos, ou seja, somente para valores de
que satisfaçam
Explicando: o logaritmo natural não aceita zero nem números negativos porque não existe
tal que
nem
. Por isso, sempre que houver
, impõe-se a condição
.
Passo 3
Aplicando essa condição ao nosso caso: é necessário que o argumento
seja positivo. Portanto a condição para o domínio é
Agora vamos isolar
para interpretar geometricamente essa desigualdade.
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade em função de
:
Assim, o domínio são todos os pontos
em que a ordenada
é estritamente menor que
.
Passo 5
Escrevendo o domínio em notação de conjunto:
Explicação do que isso significa: é a região do plano abaixo da curva
. A desigualdade é estrita (
), portanto a própria parábola
não pertence ao domínio (a fronteira está excluída).
Passo 6
Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
- O ponto
: , logo pertence ao domínio. - O ponto
: , não pertence (argumento do seria zero). - O ponto
: , não pertence. - O ponto
: , pertence. - O ponto
: , não pertence.
Passo 7
Como esboçar no plano:
- Desenhe a parábola
: vértice em , abre para cima, eixo de simetria no eixo . - Como a desigualdade é
, sombreie a região que fica abaixo dessa parábola. - Como a fronteira não pertence ao domínio, desenhe a parábola com linha tracejada (ou fina) para indicar que ela está excluída do domínio.
- Opcionalmente marque um ponto interior (por exemplo
) para mostrar um exemplo de ponto que pertence.